Zonágono

En geometría, un zonágono (del término en inglés zonogon; "polígono zonal") es un polígono convexo con simetría central.^[1]​ De manera equivalente, se trata de un polígono convexo cuyos lados se pueden agrupar en pares paralelos con iguales longitudes y orientaciones opuestas (cuando se recorre el polígono en un sentido determinado).

Zonágono octogonal

Teselado irregular con zonágonos hexagonales

Teselado octogonal mediante cuadrados y rombos

Ejemplos

Un polígono regular es un zonágono si y solo si tiene un número par de lados.^[2]​ Por lo tanto, el cuadrado, el hexágono regular y el octógono regular son todos zonógonos.

Los zonógonos de cuatro lados son el cuadrado, el rectángulo, el rombo y los paralelogramos.

Teselado y equidisección

Los zonágonos de cuatro lados y de seis lados son paralelógonos, capaces de formar mosaicos en el plano mediante copias trasladadas de sí mismos, y todos los paralelógonos convexos poseen esta propiedad.^[3]​

Cada zonágono con ${\displaystyle 2n}$  lados puede ser teselado por ${\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}$  zonágonos de cuatro lados.^[4]​ Para este recubrimiento, se requiere un tipo de zonágono de cuatro lados por cada par de pendientes distintas de los lados del zonágono de ${\displaystyle 2n}$  lados a recubrir. Al menos tres de los vértices del zonágono deben ser vértices de solo una de las teselas de cuatro lados en cualquiera de tales recubrimientos.^[5]​ Por ejemplo, el octógono regular puede ser recubierto por dos cuadrados y por cuatro rombos con ángulos de 45°.^[6]​

En una generalización del teorema de Monsky, Paul Monsky (1990) demostró que ningún zonágono posee una equidisección con un número impar de triángulos de igual área.^[7]​^[8]​

Otras propiedades

En un zonágono de ${\displaystyle n}$  lados, como máximo ${\displaystyle 2n-3}$  pares de vértices pueden estar a una distancia unidad entre sí. Existen zonágonos con ${\displaystyle n}$  lados ${\displaystyle 2n-O({\sqrt {n}})}$  pares a distancia unidad.^[9]​

Formas relacionadas

Los zonágonos son los análogos bidimensionales de los zonaedros tridimensionales y de los zonátopos de mayor dimensión. Como tales, cada zonágono puede ser generado como la suma de Minkowski de una colección de segmentos rectos en el plano.^[1]​ Si no hay dos segmentos paralelos, habrá un par de lados paralelos por cada segmento de línea. Cada cara de un zonahedro es un zonágono, y cada zonágono es la cara de al menos un zonaedro, el prisma sobre ese zonágono. Además, cada sección transversal plana a través del centro de un poliedro centralmente simétrico (como un zonaedro) es un zonágono.

Referencias

1. Boltyanski, Vladimir; Martini, Horst; Soltan, P. S. (2012), Excursions into Combinatorial Geometry, Springer, p. 319, ISBN 9783642592379 .
2. Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Plane Geometry, H. Holt, p. 121, «If a regular polygon has an even number of sides, its center is a center of symmetry of the polygon» .
3. Alexandrov, A. D. (2005), Convex Polyhedra, Springer, p. 351, ISBN 9783540231585 .
4. Beck, József (2014), Probabilistic Diophantine Approximation: Randomness in Lattice Point Counting, Springer, p. 28, ISBN 9783319107417 .
5. Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Mathematical Olympiads 1998-1999: Problems and Solutions from Around the World, Cambridge University Press, p. 125, ISBN 9780883858035 .
6. Frederickson, Greg N. (1997), Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, Cambridge, p. 10, ISBN 0-521-57197-9, MR 1735254, doi:10.1017/CBO9780511574917 .
7. Monsky, Paul (1990), «A conjecture of Stein on plane dissections», Mathematische Zeitschrift 205 (4): 583-592, MR 1082876, doi:10.1007/BF02571264 .
8. Stein, Sherman; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs 25, Cambridge University Press, p. 130, ISBN 9780883850282 .
9. Ábrego, Bernardo M.; Fernández-Merchant, Silvia (2002), «The unit distance problem for centrally symmetric convex polygons», Discrete and Computational Geometry 28 (4): 467-473, MR 1949894, doi:10.1007/s00454-002-2882-5 .

•   Datos: Q47008488