Simetría central
Se llama simetría central y "los puntos correspondientes", puntos simétricos.[1] En una simetría central, los segmentos homólogos son iguales y la medida de los ángulos correspondientes también es igual.
Dos puntos B' y P' son simétricos respecto al punto O, cuando O-K = OP', esto es P y P' equidistan del centro de simetría.[2]
Ejemplo 300:
Dibuja el triángulo simétrico del triángulo dado ABC respecto del centro O .
Propiedades
- El punto O, centro de simetría, está entre el cualquier punto A y su simétrico A'. El simétrico de O es el mismo.
- La imagen simétrica central de un segmento es otro segmento de igual tamaño si en el centro de simetría está en un segmento simetrizable, es simétrico de sí mismo, llamado punto doble
- La imagen de un triángulo, mediante simetría central, es otro triángulo congruente con el primero.
- La imagen de un polígono, mediante simetría central, es otro polígono congruente con el primero.
- Los polígonos regulares con un número par de lados tienen como centro de simetría su centro geométrico (baricentro); de modo que a cualquier punto de este polígono, le corresponde un homólogo que está en el mismo polígono.[3]
- El centro de un triángulo equilátero no es centro de simetría, en el sentido de que reproduzca la misma figura; por decir el homólogo de un vértice sale del lado opuesto. La misma situación en el caso de un tetraedro regular, su centro geométrico no es centro de simetría.[4]
- El centro de un cuadrado es centro de simetría de la figura; de igual manera, el centro de un cubo es centro de simetría del sólido. El centro de la esfera lo es también centro de simetría.
Cualquier punto cumple las dos siguientes condiciones:
- A y A’ están alineados: la recta que los une pasa por O.
- La distancia de O al punto A es igual que la de O al transformado A’
Simetría central y coordenadas
Estos triángulos son simétricos respecto del centro O.
Para pasar de un punto a su simétrico se cambia el signo de las coordenadas:
Si P =(x,y) entonces P’=(-x,-y).
| Coordenadas de los puntos | Coordenadas de sus simétricos |
|---|---|
| A=(3, 1) | A=(-3, -1) |
| B=(1, 2) | B=(-1, -2) |
| C=(2, -1) | C=(-2, 1) |
Dos puntos P=(x,y) y P’=(x’,y’) simétricos respecto de origen de coordenadas tienen sus abscisas y ordenadas opuestas.
Las ecuaciones de la simetría central son:
x’ = -x, y’ = -y
Ejemplos
- Sea la circunferencia por definida por (1): es simétrica respecto del centro de simetría (0;0) puesto si P(x;y) satisface la ecuación; también, el punto P(-x;-y) está en *la circunferencia definida por (1)
- Sea la elipse definida por , es simétrica respecto del origen de coordenadas (0;), pues satifacen P(x:y) como P'(-x;-y)[5]
En el espacio tridimensional
- Dado un punto P(x, y, z) y centro de simetría el origen de coordenadas el simétrico de P es el punto P' (-x, -y, -z)
- Dado un punto P ( en el plano o en el espacio ℝ3 ) y el centro de simetría Q, se hallan las coordenadas del simétrico P', mediante la ecuación de vectores
2Q = P + P', o bien:
- P' = 2Q - P, igualando las coordenadas hómólogas, generizable a cualquier espacio euclídeo.[6]
Composición de simetrías
Con el mismo centro
Como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar otra transformación el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura.
Con distinto centro
La composición de dos simetrías centrales con distinto centro P y Q (SpºSq) es una traslación de vector el doble que el vector que une Q y P.
Referencias y fundamentos
- «Definición de simetría — Definicion.de». Definición.de. Consultado el 11 de junio de 2017.
- Moise. Downs: "Geometría Moderna"
- Moise. Downs: Ibídem
- Moise. Downs: la misma obra
- Problemas Geometría Analítica de Kleténik
- Lehmann: "Geometría analítica"