Topología cociente

En matemáticas, la topología cociente consiste intuitivamente en crear una topología pegando ciertos puntos sobre otros, en un espacio dado, por medio de una relación de equivalencia bien definida. El nuevo espacio así generado recibe el nombre de espacio cociente. Ejemplos conocidos son el toro matemático o la banda de Möbius.

Ilustración de un espacio cociente, S², obtenida por pegado del contorno (en azul) del disco D² a un solo punto.

Definición

Sean ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})\ }$  un espacio topológico y ${\displaystyle {\mathcal {R}}\,}$  una relación de equivalencia sobre ${\displaystyle X\ }$ . El conjunto cociente ${\displaystyle Y=X/{\mathcal {R}}\,}$  es el conjunto de clases de equivalencia de los elementos de ${\displaystyle X\ }$ :

${\displaystyle Y=\{[x]:x\in X\}.}$ 

Los conjuntos abiertos que conforman la llamada topología cociente sobre ${\displaystyle Y}$  son los conjuntos de las clases de equivalencia cuyas uniones son conjuntos abiertos en ${\displaystyle X}$ :

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {R}}=\{U\subseteq Y:\bigcup _{[x]\in U}[x]\in {\mathcal {T}}_{X}\}.}$ 

Definición equivalente: sea la aplicación proyección ${\displaystyle p:X\rightarrow X/{\mathcal {R}}}$  dada por ${\displaystyle p(x)=[x]}$ , se definen los abiertos de ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\mathcal {R}}}$  como los conjuntos ${\displaystyle U\subseteq Y}$  tales que ${\displaystyle p^{-1}(U)\subseteq X}$  es abierto.

Propiedades

• La aplicación ${\displaystyle p:X\rightarrow X/{\mathcal {R}}}$  que envía a cada elemento a su clase de equivalencia correspondiente es continua^[1]​ y esta topología es la más fina topología que hace esto.
• Sean ${\displaystyle p\colon X\to X/{\mathcal {R}}}$  y ${\displaystyle \varphi \colon X/{\mathcal {R}}\to Y}$ . La aplicación ${\displaystyle \varphi }$  es continua si, y sólo si, la composición ${\displaystyle \varphi \circ p\colon X\to Y}$  es continua.^[1]​
• La propiedad universal: La topología cociente es la única topología que cumple que para cualquier espacio topológico (Z, t) y cualquier función g:(Y, ${\displaystyle t_{f}}$ )->(Z, t) se tiene que g es continua si y sólo si ${\displaystyle g\circ f}$  es continua

Ejemplos

• El toro como conjunto cociente:^[1]​ Sobre ${\displaystyle I^{2}=[0,1]\times [0,1]}$  se define la relación de equivalencia ${\displaystyle (x,0){\mathcal {R}}(x,1)}$  y ${\displaystyle (0,y){\mathcal {R}}(1,y)}$ . El espacio cociente ${\displaystyle I^{2}/{\mathcal {R}}}$  es homeomorfo a un toro.

 

• La banda de Möbius como conjunto cociente:^[1]​ Sobre ${\displaystyle I^{2}}$  se define la relación de equivalencia ${\displaystyle (0,y){\mathcal {R}}(1,1-y)}$ . El espacio cociente ${\displaystyle I^{2}/{\mathcal {R}}}$  es homeomorfo a una banda de Möbius.

 

• La botella de Klein como conjunto cociente:^[2]​ Sobre ${\displaystyle I^{2}}$  se define la relación de equivalencia ${\displaystyle (x,0){\mathcal {R}}(x,1)}$  y ${\displaystyle (0,y){\mathcal {R}}(1,1-y)}$ . El espacio cociente ${\displaystyle I^{2}/{\mathcal {R}}}$  es homeomorfo a una botella de Klein (es difícil de visualizar puesto que no es homeomorfo a un subespacio de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ).

 

• La esfera como conjunto cociente:^[3]​ Sobre ${\displaystyle \{(x,y):|x|+|y|\leq 1\}}$  se define la relación de equivalencia ${\displaystyle (x,y){\mathcal {R}}(-x,y)}$  para ${\displaystyle (x,y)}$  de la frontera. El espacio cociente correspondiente es homeomorfo a una esfera.

Bibliografía

• Robles Corbalá Carlos Alberto, "Topología general" primera edición Universidad de Sonora.
• Weisstein, Eric W. «Espacio cociente». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Quotient space en PlanetMath.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Espacio cociente», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

Enlaces externos

• López Camino, Rafael. (PDF). Universidad de Granada. Archivado desde el original el 14 de agosto de 2011. Consultado el 30 de abril de 2011. 

•   Wikilibros alberga un libro o manual sobre Espacios Métricos/Productos y Cocientes. incluyendo un capítulo sobre espacios cocientes.

Referencias

1. Llopis, José L. «Espacio topológico cociente». Matesfacil. ISSN 2659-8442. Consultado el 18 de septiembre de 2019. 
2. A. Stolz, Stephan. Algebraic Topology (en inglés). Consultado el 18 de septiembre de 2019. 
3. Classification of surfaces (en inglés). Consultado el 18 de septiembre de 2019. 

•   Datos: Q1139111