Test de convergencia

En matemáticas, los test de convergencia son métodos para evaluar la convergencia, la convergencia condicional, la convergencia absoluta, el intervalo de convergencia y divergencia de una serie infinita.

Lista de tests

Límite del sumando

También denominado test preliminar.^[1]​ Si el límite del sumando es indefinido o distinto de cero, es decir, si ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$  entonces la serie diverge. En este sentido, las sumas parciales son Sucesión de Cauchy si y solo si este límite existe y es igual a cero. El test no es concluyente si el límite del sumando es cero.

Criterio de d'Alembert

Suponemos que existe ${\displaystyle r}$  tal que: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r.}$ 

Si r < 1, entonces la serie converge. Si r > 1, entonces la serie es divergente. Si r = 1, el test no es concluyente, y la serie puede converger o divergir.

Criterio de la raíz de Cauchy

Definimos r cómo:

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$ 

donde "lim sup" denota el límite superior (posiblemente ∞; si el límite existe y es del mismo valor).

Si r < 1, entonces la serie converge. Si r > 1, entonces la serie diverge. Si r = 1, el test no es concluyente, y la serie puede converger o divergir.

Test de la integral

La serie se puede comparar con una integral y establecer de esta forma la convergencia o divergencia de la misma. Si ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}}$  es una función positiva y monótona decreciente tal que ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ . Si

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$ 

entonces la serie converge. Pero si la integral diverge, entonces la serie también lo hace. De esta forma, la serie converge si y solo si la integral converge.

Test por comparación directa

Si la serie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$  es absolutamente convergente y ${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$  para a n suficientemente grande, entonces la serie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  converge absolutamente.

Test de comparación de límites

Si ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}$ , y el límite ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$  existe y es diferente de cero, entonces ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  converge si y solo si ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$  converge.

Criterio de condensación de Cauchy

Sea ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$  una secuencia positiva no creciente. Entonces la suma ${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  converge si y solo si la suma ${\displaystyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$  converge. Además, si convergen, entonces ${\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}$ .

Test de Abel

Suponiendo que las siguientes condiciones se cumplen:

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$  es una serie convergente,
2. ${\displaystyle b_{n}}$  es una sucesión monótona y limitada

Entonces ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$  es también convergente. Nótese que este criterio es especialmente útil en el supuesto de que ${\displaystyle \sum a_{n}}$  sea una sucesión convergente no absoluta (léase condicional). En el caso de que sea absolutamente convergente, a pesar de aplicarse, es casi un corolario evidente.

Test para series alternadas

También conocido como Criterio de Leibniz, suponemos que las siguientes suposiciones son ciertas:

1. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  es una serie cuyos términos oscilan entre valores positivos y negativos,
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ ,
3. el valor absoluto de cada término es menor que el valor absoluto del término precedente.

Entonces podemos afirmar que:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  es una serie convergente.

Véase también

• Regla de l'Hôpital

Referencias

1. Boas, Mary. L. «Mathematical Methods in the Physical Sciences». Wikipedia (en inglés).  |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)

Enlaces externos

• Flowchart for choosing convergence test
• Convergence of infinite serías el 19 de abril de 2012 en Wayback Machine.

•   Datos: Q3979448