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Teoría de la medida geométrica

Agosto 12, 2021

En matemáticas, la teoría de la medida geométrica (GMT, del inglés geometric measure theory) es el estudio de las propiedades geométricas de los conjuntos (típicamente en el espacio euclidiano) a través de la teoría de la medida. Permite a los matemáticos extender herramientas desde la geometría diferencial a una clase mucho mayor de superficies que no son necesariamente lisas.

Historia

La teoría de la medida geométrica nació del deseo de resolver el problema de Plateau (llamado así por Joseph Plateau) que pregunta si por cada curva cerrada suave en   existe una superficie de menor área entre todas las superficies cuyo límite es igual a la curva dada. Tales superficies imitan películas de jabón.

El problema había permanecido abierto desde que lo planteó Lagrange en 1760. Fue resuelto de forma independiente en la década de 1930 por Jesse Douglas y Tibor Radó bajo ciertas restricciones topológicas. En 1960, Herbert Federer y Wendell Fleming utilizaron la teoría de las corrientes con la que pudieron resolver analíticamente el problema de la meseta orientable sin restricciones topológicas, lo que generó la teoría de la medida geométrica. Más tarde, Jean Taylor, después de Fred Almgren, demostró las leyes de Plateau para el tipo de singularidades que pueden ocurrir en estas películas de jabón y grupos de pompas de jabón más generales.

Ideas importantes

Los siguientes objetos son centrales en la teoría de medidas geométricas:

Los siguientes teoremas y conceptos también son fundamentales:

Ejemplos

La desigualdad de Brunn-Minkowski para los volúmenes n- dimensionales de los cuerpos convexos K y L,

 

se puede probar en una sola página y rápidamente produce la desigualdad isoperimétrica clásica. La desigualdad de Brunn-Minkowski también conduce al teorema de Anderson en estadística. La prueba de la desigualdad de Brunn-Minkowski es anterior a la teoría de la medida moderna; el desarrollo de la teoría de la medida y la integración de Lebesgue permitió establecer conexiones entre geometría y análisis, en la medida en que en una forma integral de la desigualdad de Brunn-Minkowski conocida como desigualdad de Prékopa-Leindler la geometría parece estar casi completamente ausente.

Véase también

Referencias

  • Federer, Herbert; Fleming, Wendell H. (1960), «Normal and integral currents», Annals of Mathematics, II 72 (4): 458-520, doi:10.2307/1970227 .
  • Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, series Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7 . Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, series Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7 . Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory, series Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7 .
  • Federer, H. (1978), «Colloquium lectures on geometric measure theory», Bull. Amer. Math. Soc. 84 (3): 291-338, doi:10.1090/S0002-9904-1978-14462-0 .
  • Fomenko, Anatoly T. (1990), Variational Principles in Topology (Multidimensional Minimal Surface Theory), Mathematics and its Applications (Book 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792302308 . Fomenko, Anatoly T. (1990), Variational Principles in Topology (Multidimensional Minimal Surface Theory), Mathematics and its Applications (Book 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792302308 .
  • Gardner, Richard J. (2002), «The Brunn-Minkowski inequality», Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39 (3): 355-405 (electronic), ISSN 0273-0979, doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .
  • Mattila, Pertti (1999), Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, London: Cambridge University Press, p. 356, ISBN 978-0-521-65595-8 . Mattila, Pertti (1999), Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, London: Cambridge University Press, p. 356, ISBN 978-0-521-65595-8 .
  • Morgan, Frank (2009), Geometric measure theory: A beginner's guide (Fourth edición), San Diego, California: Academic Press Inc., pp. viii+249, ISBN 978-0-12-374444-9 . Morgan, Frank (2009), Geometric measure theory: A beginner's guide (Fourth edición), San Diego, California: Academic Press Inc., pp. viii+249, ISBN 978-0-12-374444-9 . Morgan, Frank (2009), Geometric measure theory: A beginner's guide (Fourth edición), San Diego, California: Academic Press Inc., pp. viii+249, ISBN 978-0-12-374444-9 .
  • Taylor, Jean E. (1976), «The structure of singularities in soap-bubble-like and soap-film-like minimal surfaces», Annals of Mathematics, Second Series 103 (3): 489-539, doi:10.2307/1970949 . .
  • O'Neil, T.C. (2001), «Geometric measure theory», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

Enlaces externos

  • Página GMT de Peter Mörters [1]
  • Página GMT de Toby O'Neil con referencias [2]
  •   Datos: Q3526918

Agosto 12, 2021
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En matematicas la teoria de la medida geometrica GMT del ingles geometric measure theory es el estudio de las propiedades geometricas de los conjuntos tipicamente en el espacio euclidiano a traves de la teoria de la medida Permite a los matematicos extender herramientas desde la geometria diferencial a una clase mucho mayor de superficies que no son necesariamente lisas Indice 1 Historia 2 Ideas importantes 3 Ejemplos 4 Vease tambien 5 Referencias 6 Enlaces externosHistoria EditarLa teoria de la medida geometrica nacio del deseo de resolver el problema de Plateau llamado asi por Joseph Plateau que pregunta si por cada curva cerrada suave en R 3 displaystyle mathbb R 3 existe una superficie de menor area entre todas las superficies cuyo limite es igual a la curva dada Tales superficies imitan peliculas de jabon El problema habia permanecido abierto desde que lo planteo Lagrange en 1760 Fue resuelto de forma independiente en la decada de 1930 por Jesse Douglas y Tibor Rado bajo ciertas restricciones topologicas En 1960 Herbert Federer y Wendell Fleming utilizaron la teoria de las corrientes con la que pudieron resolver analiticamente el problema de la meseta orientable sin restricciones topologicas lo que genero la teoria de la medida geometrica Mas tarde Jean Taylor despues de Fred Almgren demostro las leyes de Plateau para el tipo de singularidades que pueden ocurrir en estas peliculas de jabon y grupos de pompas de jabon mas generales Ideas importantes EditarLos siguientes objetos son centrales en la teoria de medidas geometricas Conjuntos rectificables o medidas de Radon que son conjuntos con la menor regularidad posible requerida para admitir espacios tangentes aproximados Corrientes una generalizacion del concepto de variedades orientadas posiblemente con limite Cadenas planas una generalizacion alternativa del concepto de variedades posiblemente con limite Conjuntos de Caccioppoli tambien conocidos como conjuntos de perimetro localmente finito una generalizacion del concepto de variedades sobre las que se aplica el teorema de la divergencia Los siguientes teoremas y conceptos tambien son fundamentales La formula del area que generaliza el concepto de cambio de variables en la integracion La formula de coarea que generaliza y adapta el teorema de Fubini a la teoria de medidas geometricas La desigualdad isoperimetrica que establece que la circunferencia mas pequena posible para un area dada es la de un circulo redondo Convergencia plana que generaliza el concepto de convergencia multiple Ejemplos EditarLa desigualdad de Brunn Minkowski para los volumenes n dimensionales de los cuerpos convexos K y L v o l 1 l K l L 1 n 1 l v o l K 1 n l v o l L 1 n displaystyle mathrm vol big 1 lambda K lambda L big 1 n geq 1 lambda mathrm vol K 1 n lambda mathrm vol L 1 n se puede probar en una sola pagina y rapidamente produce la desigualdad isoperimetrica clasica La desigualdad de Brunn Minkowski tambien conduce al teorema de Anderson en estadistica La prueba de la desigualdad de Brunn Minkowski es anterior a la teoria de la medida moderna el desarrollo de la teoria de la medida y la integracion de Lebesgue permitio establecer conexiones entre geometria y analisis en la medida en que en una forma integral de la desigualdad de Brunn Minkowski conocida como desigualdad de Prekopa Leindler la geometria parece estar casi completamente ausente Vease tambien EditarConjunto Caccioppoli Formula de coarea Corrientes Herbert Federer Curva de OsgoodReferencias EditarFederer Herbert Fleming Wendell H 1960 Normal and integral currents Annals of Mathematics II 72 4 458 520 doi 10 2307 1970227 Federer Herbert 1969 Geometric measure theory series Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 153 New York Springer Verlag New York Inc pp xiv 676 ISBN 978 3 540 60656 7 Federer Herbert 1969 Geometric measure theory series Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 153 New York Springer Verlag New York Inc pp xiv 676 ISBN 978 3 540 60656 7 Federer Herbert 1969 Geometric measure theory series Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 153 New York Springer Verlag New York Inc pp xiv 676 ISBN 978 3 540 60656 7 Federer H 1978 Colloquium lectures on geometric measure theory Bull Amer Math Soc 84 3 291 338 doi 10 1090 S0002 9904 1978 14462 0 Fomenko Anatoly T 1990 Variational Principles in Topology Multidimensional Minimal Surface Theory Mathematics and its Applications Book 42 Springer Kluwer Academic Publishers ISBN 978 0792302308 Fomenko Anatoly T 1990 Variational Principles in Topology Multidimensional Minimal Surface Theory Mathematics and its Applications Book 42 Springer Kluwer Academic Publishers ISBN 978 0792302308 Gardner Richard J 2002 The Brunn Minkowski inequality Bull Amer Math Soc N S 39 3 355 405 electronic ISSN 0273 0979 doi 10 1090 S0273 0979 02 00941 2 Mattila Pertti 1999 Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces London Cambridge University Press p 356 ISBN 978 0 521 65595 8 Mattila Pertti 1999 Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces London Cambridge University Press p 356 ISBN 978 0 521 65595 8 Morgan Frank 2009 Geometric measure theory A beginner s guide Fourth edicion San Diego California Academic Press Inc pp viii 249 ISBN 978 0 12 374444 9 Morgan Frank 2009 Geometric measure theory A beginner s guide Fourth edicion San Diego California Academic Press Inc pp viii 249 ISBN 978 0 12 374444 9 Morgan Frank 2009 Geometric measure theory A beginner s guide Fourth edicion San Diego California Academic Press Inc pp viii 249 ISBN 978 0 12 374444 9 Taylor Jean E 1976 The structure of singularities in soap bubble like and soap film like minimal surfaces Annals of Mathematics Second Series 103 3 489 539 doi 10 2307 1970949 O Neil T C 2001 Geometric measure theory en Hazewinkel Michiel ed Encyclopaedia of Mathematics en ingles Springer ISBN 978 1556080104 Enlaces externos EditarPagina GMT de Peter Morters 1 Pagina GMT de Toby O Neil con 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