El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.[1] Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo infinitesimal.
El teorema fue fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de la matemática que se seguía por separado del cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII, y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del «área bajo una función» estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow,[2] denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Historia
El teorema fundamental del cálculo se refiere a la diferenciación e integración, demostrando que estas dos operaciones son esencialmente inversas la una de la otra. Antes del descubrimiento de este teorema, no se reconoció que estas dos operaciones estaban relacionadas. Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo calcular el área a través de los infinitesimales, una operación que ahora llamaríamos integración. Los orígenes de la diferenciación son también anteriores al teorema fundamental del cálculo en cientos de años; por ejemplo, en el siglo XIV las nociones de continuidad de funciones y de movimiento eran estudiadas por los calculadores de Oxford y otros estudiosos. La relevancia histórica del teorema fundamental del cálculo no es la capacidad de calcular estas operaciones, sino la constatación de que estas dos operaciones distintas en apariencia (cálculo de áreas geométricas y cálculo de velocidades) estaban finalmente en estrecha relación.
La primera declaración publicada y prueba de una versión restringida del teorema fundamental fue hecha por James Gregory (1638–1675).[3] Isaac Barrow (1630–1677) demostró una versión más generalizada del teorema,[4] mientras que el estudiante de Barrow, Isaac Newton (1642–1727), completó el desarrollo de la teoría matemática concernida. Gottfried Leibniz (1646–1716) sistematizó el conocimiento en un cálculo de las cantidades infinitesimales e introdujo la notación utilizada en la actualidad.
Intuición geométrica
El área rayada en rojo puede ser calculada como veces , o, si se conociera la función , como . Estos valores son aproximadamente iguales, especialmente para valores pequeños de .
Supóngase que se tiene una función continua cuya representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función que representa el área bajo la curva entre y aún sin conocer su expresión.
Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre y . Se podría hacer hallando el área entre y y luego restando el área entre y . En resumen, el área sería .
Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar por para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la «loncha». Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de .
Por lo tanto, se puede decir que es aproximadamente igual a , y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de . En otras palabras, , convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando tiende a 0 como límite.
Dividiendo los dos lados de la ecuación por se obtiene
Cuando tiende a , se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada de la función y que el miembro izquierdo se queda en al ya no estar presente.
Se muestra entonces de manera informal que , es decir, que la derivada de la función de área es en realidad la función . Dicho de otra forma, la función de área es la antiderivada de la función original.
Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y «hallar el área» bajo su curva son operaciones «inversas», es decir, el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.
«El Teorema Fundamental del Cálculo (1)». Matemáticas Visuales. Consultado el 15 de marzo de 2016.
. Secctor Matemática. Archivado desde el original el 20 de agosto de 2016. Consultado el 15 de marzo de 2016.
See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114.
teorema, fundamental, cálculo, teorema, fundamental, cálculo, consiste, intuitivamente, afirmación, derivación, integración, función, operaciones, inversas, esto, significa, toda, función, acotada, integrable, siendo, continua, discontinua, número, finito, pun. El teorema fundamental del calculo consiste intuitivamente en la afirmacion de que la derivacion e integracion de una funcion son operaciones inversas 1 Esto significa que toda funcion acotada e integrable siendo continua o discontinua en un numero finito de puntos verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma Este teorema es central en la rama de las matematicas denominada analisis matematico o calculo infinitesimal El teorema fue fundamental porque hasta entonces el calculo aproximado de areas integrales en el que se venia trabajando desde Arquimedes era una rama de la matematica que se seguia por separado del calculo diferencial que se venia desarrollando por Isaac Newton Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas Las integrales eran investigadas como formas de estudiar areas y volumenes hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron al demostrarse que el estudio del area bajo una funcion estaba intimamente vinculado al calculo diferencial resultando la integracion la operacion inversa a la derivacion Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow 2 denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del calculo y que permite calcular la integral de una funcion utilizando la integral indefinida de la funcion al ser integrada Indice 1 Historia 2 Intuicion geometrica 3 Primer teorema fundamental del calculo 3 1 Teorema 3 2 Lema 3 2 1 Demostracion 3 3 Demostracion 1 3 4 Demostracion 2 3 5 Consecuencias 3 5 1 Corolario 3 5 2 Demostracion 3 6 Ejemplos 3 6 1 Ejemplo 1 3 6 2 Ejemplo 2 3 6 3 Ejemplo 3 3 6 4 Ejemplo 4 4 Segundo teorema fundamental del calculo 4 1 Teorema 4 2 Demostracion 4 3 Ejemplos 5 Vease tambien 6 Referencias 7 Enlaces externosHistoria EditarEl teorema fundamental del calculo se refiere a la diferenciacion e integracion demostrando que estas dos operaciones son esencialmente inversas la una de la otra Antes del descubrimiento de este teorema no se reconocio que estas dos operaciones estaban relacionadas Los antiguos matematicos griegos sabian como calcular el area a traves de los infinitesimales una operacion que ahora llamariamos integracion Los origenes de la diferenciacion son tambien anteriores al teorema fundamental del calculo en cientos de anos por ejemplo en el siglo XIV las nociones de continuidad de funciones y de movimiento eran estudiadas por los calculadores de Oxford y otros estudiosos La relevancia historica del teorema fundamental del calculo no es la capacidad de calcular estas operaciones sino la constatacion de que estas dos operaciones distintas en apariencia calculo de areas geometricas y calculo de velocidades estaban finalmente en estrecha relacion La primera declaracion publicada y prueba de una version restringida del teorema fundamental fue hecha por James Gregory 1638 1675 3 Isaac Barrow 1630 1677 demostro una version mas generalizada del teorema 4 mientras que el estudiante de Barrow Isaac Newton 1642 1727 completo el desarrollo de la teoria matematica concernida Gottfried Leibniz 1646 1716 sistematizo el conocimiento en un calculo de las cantidades infinitesimales e introdujo la notacion utilizada en la actualidad Intuicion geometrica Editar El area rayada en rojo puede ser calculada como h displaystyle h veces f x displaystyle f x o si se conociera la funcion A x displaystyle A x como A x h A x displaystyle A x h A x Estos valores son aproximadamente iguales especialmente para valores pequenos de h displaystyle h Supongase que se tiene una funcion continua y f x displaystyle y f x cuya representacion grafica es una curva Entonces para cada valor de x displaystyle x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una funcion A x displaystyle A x que representa el area bajo la curva entre 0 displaystyle 0 y x displaystyle x aun sin conocer su expresion Supongase ahora que se quiere calcular el area bajo la curva entre x displaystyle x y x h displaystyle x h Se podria hacer hallando el area entre 0 displaystyle 0 y x h displaystyle x h y luego restando el area entre 0 displaystyle 0 y x displaystyle x En resumen el area seria A x h A x displaystyle A x h A x Otra manera de estimar esta misma area es multiplicar h displaystyle h por f x displaystyle f x para hallar el area de un rectangulo que coincide aproximadamente con la loncha Notese que la aproximacion al area buscada es mas precisa cuanto mas pequeno sea el valor de h displaystyle h Por lo tanto se puede decir que A x h A x displaystyle A x h A x es aproximadamente igual a f x h displaystyle f x cdot h y que la precision de esta aproximacion mejora al disminuir el valor de h displaystyle h En otras palabras f x h A x h A x displaystyle f x cdot h approx A x h A x convirtiendose esta aproximacion en igualdad cuando h displaystyle h tiende a 0 como limite Dividiendo los dos lados de la ecuacion por h displaystyle h se obtienef x A x h A x h displaystyle f x approx frac A x h A x h Cuando h displaystyle h tiende a 0 displaystyle 0 se observa que el miembro derecho de la ecuacion es sencillamente la derivada A x displaystyle A x de la funcion A x displaystyle A x y que el miembro izquierdo se queda en f x displaystyle f x al ya no estar h displaystyle h presente Se muestra entonces de manera informal que f x A x displaystyle f x A x es decir que la derivada de la funcion de area A x displaystyle A x es en realidad la funcion f x displaystyle f x Dicho de otra forma la funcion de area A x displaystyle A x es la antiderivada de la funcion original Lo que se ha mostrado es que intuitivamente calcular la derivada de una funcion y hallar el area bajo su curva son operaciones inversas es decir el objetivo del teorema fundamental del calculo integral Primer teorema fundamental del calculo EditarTeorema Editar Sea f displaystyle f una funcion integrable en el intervalo a b displaystyle a b definimos F displaystyle F en a b displaystyle a b como F x a x f t d t displaystyle F x int a x f t dt si f displaystyle f es continua en c a b displaystyle c in a b entonces F displaystyle F es diferenciable en c displaystyle c y F c f c displaystyle F c f c Lema Editar Sea f displaystyle f integrable sobre a b displaystyle a b y m f x M x a b displaystyle m leq f x leq M quad forall x in a b entonces m b a a b f t d t M b a displaystyle m b a leq int a b f t dt leq M b a Demostracion Editar Esta claro que m b a L f P y U f P M b a displaystyle m b a leq L f P hbox y U f P leq M b a para toda particion P displaystyle P Puesto que a b f sup L f P inf U f P displaystyle int a b f sup L f P inf U f P la desigualdad se sigue inmediatamente Demostracion 1 Editar Por definicion se tiene que F c lim h 0 F c h F c h displaystyle F c lim h rightarrow 0 frac F c h F c h Sea h gt 0 displaystyle h gt 0 entonces F c h F c c c h f t d t displaystyle F c h F c int c c h f t dt Se definen m h displaystyle m h y M h displaystyle M h como m h inf f x c x c h M h sup f x c x c h displaystyle begin aligned m h amp inf f x c leq x leq c h M h amp sup f x c leq x leq c h end aligned Aplicando el lema se observa que m h h c c h f t d t M h h displaystyle m h cdot h leq int c c h f t dt leq M h cdot h Por lo tanto m h F c h F c h M h displaystyle m h leq frac F c h F c h leq M h Sean h lt 0 displaystyle h lt 0 y m h inf f x c h x c M h sup f x c h x c displaystyle begin aligned m h amp inf f x c h leq x leq c M h amp sup f x c h leq x leq c end aligned Aplicando el lema se observa que m h h c h c f t d t M h h displaystyle m h cdot h leq int c h c f t dt leq M h cdot h Como F c h F c c c h f t d t c h c f t d t displaystyle F c h F c int c c h f t dt int c h c f t dt entonces M h h F c h F c m h h displaystyle M h cdot h leq F c h F c leq m h cdot h Puesto que h lt 0 displaystyle h lt 0 se tiene que m h F c h F c h M h displaystyle m h leq frac F c h F c h leq M h Y como f displaystyle f es continua en c displaystyle c se tiene que lim h 0 m h lim h 0 M h lim h 0 m h lim h 0 M h f c displaystyle lim h rightarrow 0 m h lim h rightarrow 0 M h lim h rightarrow 0 m h lim h rightarrow 0 M h f c y esto lleva a que F c lim h 0 F c h F c h f c displaystyle F c lim h rightarrow 0 frac F c h F c h f c Demostracion 2 Editar Otra demostracion del teorema fundamental del calculoCogiendo un intervalo cerrado a x displaystyle a x sobre a b displaystyle a b ya que f t displaystyle f t es continua en a b displaystyle a b tambien lo sera en a x displaystyle a x Segun el teorema del valor medio para integrales se cumple que 3 a x f 3 1 x a a x f t d t displaystyle exists xi in a x quad f xi frac 1 x a int a x f t dt Haciendo el intervalo muy pequeno de tal manera que x a displaystyle x longrightarrow a y debido a esa tendencia se tiene tambien que 3 a displaystyle xi longrightarrow a Por lo que en los limites se llega a lim 3 a f 3 lim x a a x f t d t x a displaystyle lim xi to a f xi lim x to a frac int a x f t dt x a Sabemos que a a f t d t 0 displaystyle int a a f t dt 0 Entonces la ecuacion se la puede escribir como lim 3 a f 3 lim x a a x f t d t a a f t d t x a displaystyle lim xi to a f xi lim x to a frac int a x f t dt int a a f t dt x a Dado que F x a x f t d t displaystyle F x int a x f t dt entonces F a a a f t d t displaystyle F a int a a f t dt lim 3 a f 3 lim x a F x F a x a displaystyle lim xi to a f xi lim x to a frac F x F a x a Y debido a que f t displaystyle f t es continua en a entonces lim 3 a f 3 f a displaystyle lim xi to a f xi f a f a lim x a F x F a x a displaystyle f a lim x to a frac F x F a x a Vista la ecuacion de otra manera f x x a d F x d x x a displaystyle f x x a frac dF x dx x a Por lo tanto d F x d x f x displaystyle frac dF x dx f x o tambien d d x a x f t d t f x displaystyle frac d dx int a x f t dt f x Y en consecuencia c a b d d x a x f t d t x c f c displaystyle forall c in a b quad frac d dx int a x f t dt x c f c Con ello se demuestra el primer teorema fundamental del calculo Consecuencias Editar Corolario Editar Si f displaystyle f es continua en a b displaystyle a b y f g displaystyle f g para alguna funcion g displaystyle g entonces a b f t d t g b g a displaystyle int a b f t dt g b g a Demostracion Editar Sea F x a x f t d t displaystyle F x int a x f t dt entonces F f g displaystyle F f g en a b displaystyle a b por lo que c R displaystyle exists c in mathbb R tal que F g c displaystyle F g c Notese que 0 F a g a c displaystyle 0 F a g a c de donde se sigue que c g a displaystyle c g a asi F x g x g a displaystyle F x g x g a En particular cuando x b displaystyle x b entonces a b f t d t F b g b g a displaystyle int a b f t dt F b g b g a En ocasiones a este corolario se le llega a denominar como el segundo teorema fundamental del calculo Si utilizamos la regla de la cadena obtenemos como consecuencia directa del primer teorema fundamental del calculo d d x a x b x f t d t f b x b x f a x a x displaystyle dfrac mathop mathrm d mathop mathrm d x int a x b x f t mathop mathrm d t f b x cdot b prime x f a x cdot a prime x siendo f t textstyle f t una funcion continua sobre el intervalo a x b x displaystyle left a x b x right donde a x displaystyle a x y b x displaystyle b x son funciones diferenciables Ejemplos Editar Ejemplo 1 Editar Si F x 0 x t 2 d t displaystyle F x int 0 x t 2 dt entoncesF x x 2 displaystyle F x x 2 Ejemplo 2 Editar Si H x 0 e 3 x sen t d t displaystyle H x int 0 e 3x operatorname sen t dt entonces H x sen e 3 x e 3 x 3 3 e 3 x sen e 3 x displaystyle begin aligned H x amp operatorname sen left e 3x right e 3x cdot 3 amp 3e 3x operatorname sen left e 3x right end aligned Ejemplo 3 Editar Si G x 0 x 2 arcsen t d t displaystyle G x int 0 x 2 text arcsen t dt entonces G x arcsen x 2 2 x 2 x arcsen x 2 displaystyle begin aligned G x amp text arcsen x 2 cdot 2x amp 2x text arcsen x 2 end aligned Ejemplo 4 Editar Si J x 0 a x 1 1 sen 2 t d t 1 1 sen 2 t d t displaystyle J x int 0 int a x frac 1 1 operatorname sen 2 t dt frac 1 1 operatorname sen 2 t dt entonces J x 1 1 sen 2 a x 1 1 sen 2 t d t 1 1 sen 2 x displaystyle J x frac 1 left 1 operatorname sen 2 int a x frac 1 1 operatorname sen 2 t dt right cdot frac 1 1 operatorname sen 2 x Segundo teorema fundamental del calculo EditarEl segundo teorema fundamental del calculo integral o regla de Newton Leibniz o tambien regla de Barrow en honor al matematico ingles Isaac Barrow profesor de Isaac Newton es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular facilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la funcion Teorema Editar Sea f displaystyle f una funcion integrable en el intervalo a b displaystyle a b y f g displaystyle f g para alguna funcion g displaystyle g entonces a b f x d x g b g a displaystyle int a b f x dx g b g a Demostracion Editar Sea P t 0 lt lt t n displaystyle mathcal P t 0 lt cdots lt t n particion cualquiera del intervalo a b displaystyle a b por el teorema del valor medio x i t i 1 t i displaystyle exists x i in t i 1 t i tal que g t i g t i 1 g x i t i t i 1 f x i t i t i 1 displaystyle begin aligned g t i g t i 1 amp g x i t i t i 1 amp f x i t i t i 1 end aligned Si m i inf f x t i 1 x t i M i sup f x t i 1 x t i displaystyle begin aligned m i amp inf f x t i 1 leq x leq t i M i amp sup f x t i 1 leq x leq t i end aligned entonces m i t i t i 1 f x i t i t i 1 M i t i t i 1 displaystyle m i t i t i 1 leq f x i t i t i 1 leq M i t i t i 1 es decir m i t i t i 1 g t i g t i 1 M i t i t i 1 displaystyle m i t i t i 1 leq g t i g t i 1 leq M i t i t i 1 Sumando estas ecuaciones para i 1 2 n displaystyle i 1 2 dots n se obtiene i 1 n m i t i t i 1 g b g a i 1 n M i t i t i 1 displaystyle sum i 1 n m i t i t i 1 leq g b g a leq sum i 1 n M i t i t i 1 de manera que L f P g b g a U f P displaystyle mathcal L f mathcal P leq g b g a leq mathcal U f mathcal P para toda particion de P displaystyle mathcal P por lo tanto a b f t d t g b g a displaystyle int a b f t dt g b g a Ejemplos Editar Considerese la integral 0 p cos x d x displaystyle int 0 pi cos x dx Se tiene que F x sen x displaystyle F x operatorname sen x pues F x f x cos x displaystyle F x f x cos x por lo que 0 p cos x d x sen x 0 p sen p sen 0 0 displaystyle begin aligned int 0 pi cos x dx amp operatorname sen x bigg 0 pi amp operatorname sen pi operatorname sen 0 amp 0 end aligned Considerese la integral 1 e d x x displaystyle int 1 e frac dx x Se tiene que F x ln x displaystyle F x ln x pues F x f x 1 x displaystyle F x f x 1 x por lo que 1 e d x x ln x 1 e ln e ln 1 1 displaystyle begin aligned int 1 e frac dx x amp ln x bigg 1 e amp ln e ln 1 amp 1 end aligned Como se puede integrar inmediatamente Vease tambien EditarMetodos de integracion Regla de Leibniz Integral de RiemannReferencias Editar El Teorema Fundamental del Calculo 1 Matematicas Visuales Consultado el 15 de marzo de 2016 La Regla de Barrow Secctor Matematica Archivado desde el original el 20 de agosto de 2016 Consultado el 15 de marzo de 2016 See e g Marlow Anderson Victor J Katz Robin J Wilson Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History Mathematical Association of America 2004 p 114 Vease en 1 APOSTOL Calculus SPIVAK Calculo InfinitesimalEnlaces externos EditarEl descubrimiento del calculo integral Universidad Autonoma de Madrid Interpretacion grafica del Teorema Fundamental del Calculo Manuel Sada Allo Weisstein Eric W Teorema fundamental del calculo En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Demostracion Euclidiana del TFC James Gregory en Convergence en ingles Isaac Barrow s proof of the Fundamental Theorem of Calculus en ingles Datos Q1217677 Multimedia Fundamental theorem of calculus Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema fundamental del calculo amp oldid 140367560, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,