Regla de la cadena

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para obtener la derivada de funciones compuestas, esto es, si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son funciones diferenciables entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la composición ${\displaystyle f\circ g}$ en términos de la derivada de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ y el producto de funciones como

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'}$

Alternativamente, si ${\displaystyle h=f\circ g}$ (equivalente a ${\displaystyle h(x)=f(g(x))}$ para toda ${\displaystyle x}$) entonces se puede escribir la fórmula de la regla de la cadena en la notación de Lagrange como

${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x)}$

La regla de la cadena también puede ser escrita en la notación de Leibniz de la siguiente manera. Si una variable ${\displaystyle z}$ depende de una variable ${\displaystyle y}$ y a su vez esta depende de ${\displaystyle x}$ (esto es ${\displaystyle y}$ y ${\displaystyle z}$ son variables dependientes) entonces ${\displaystyle z}$ también depende de ${\displaystyle x}$, en tal caso, la regla de la cadena enuncia que

${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}}$

y para indicar el punto en el que cada derivada es evaluada

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dx}}\right|_{x}=\left.{\frac {dz}{dy}}\right|_{y(x)}\cdot \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x}}$

Las versiones de la regla de la cadena en la notación de Lagrange y de Leibniz son equivalentes en el sentido que si ${\displaystyle z=f(y)}$ y ${\displaystyle y=g(x)}$ (esto es ${\displaystyle z=f(g(x))=(f\circ g)(x)}$) entonces

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dx}}\right|_{x}=(f\circ g)'(x)}$

y

${\displaystyle \left.{\frac {dz}{dy}}\right|_{y(x)}\cdot \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x}=f'(y(x))g'(x)=f'(g(x))g'(x)}$

Enunciado

La forma más simple de la regla de la cadena es para funciones de una variable. Enuncia que si ${\displaystyle g}$  es una función que es diferenciable en un punto ${\displaystyle c}$  (es decir, la derivada ${\displaystyle g'(c)}$  existe) y si ${\displaystyle f}$  es una función diferenciable en ${\displaystyle g(c)}$  entonces la función compuesta ${\displaystyle f\circ g}$  es diferenciable en ${\displaystyle c}$  y su derivada es

${\displaystyle (f\circ g)'(c)=f'(g(c))\cdot g'(c)}$ 

y en ocasiones es abreviada como

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'}$ 

Si ${\displaystyle y=f(u)}$  y ${\displaystyle u=g(x)}$  entonces esta forma abreviada escrita en la notación de Leibniz es

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$ 

y para denotar los puntos donde la derivada es evaluada

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=c}=\left.{\frac {dy}{du}}\right|_{u=g(c)}\cdot \left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=c}}$ 

Dadas ${\displaystyle n}$  funciones ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$  y la función compuesta ${\displaystyle f_{1}\circ (f_{2}\circ \cdots (f_{n-1}\circ f_{n}))}$ , si cada función ${\displaystyle f_{i}}$  es diferenciable entonces la función compuesta también es diferenciable (por la regla de la cadena repetida varias veces) y su derivada es (en la notación de Leibniz)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df_{1}}{dx}}&={\frac {df_{1}}{df_{2}}}{\frac {df_{2}}{df_{3}}}\cdots {\frac {df_{n}}{dx}}\end{aligned}}}$ 

Derivadas de orden superior

La fórmula de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Suponga que ${\displaystyle y=f(u)}$  y ${\displaystyle u=g(x)}$  entonces

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}}$ 

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}}$ 

${\displaystyle {\frac {d^{3}f}{dx^{3}}}={\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{3}+3{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}}$ 

${\displaystyle {\frac {d^{4}f}{dx^{4}}}={\frac {d^{4}f}{dg^{4}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{4}+6{\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left[4{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}+3\left({\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}\right)^{2}\right]+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{4}g}{dx^{4}}}}$ 

Demostración

Primera demostración

Una demostración consiste utilizando la definición de la derivada:

${\displaystyle (f\circ g)'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{x-a}}.}$ 

Supongamos que ${\displaystyle g(x)}$  no es igual ${\displaystyle g(a)}$  para todo ${\displaystyle x}$  cerca de ${\displaystyle a}$  entonces la expresión anterior es igual al producto de dos factores:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.}$ 

Si ${\displaystyle g}$  se mueve cerca de ${\displaystyle a}$ , entonces puede ocurrir que independientemente de lo cerca que se esté de ${\displaystyle a}$ , siempre hay un valor ${\displaystyle x}$  más cercano tal que ${\displaystyle g(x)=g(a)}$ . Por ejemplo, esto ocurre para ${\displaystyle g(x)=x^{2}\operatorname {sen}(1/x)}$  cerca del punto ${\displaystyle a=0}$  (y ${\displaystyle g(a)=0}$ ). Cuando esto ocurre, la expresión de arriba no está definida porque implica una división por cero. Para sortear este inconveniente, se introduce la función ${\displaystyle Q}$  como sigue:

${\displaystyle Q(y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(y)-f(g(a))}{y-g(a)}},&y\neq g(a),\\\displaystyle f'(g(a)),&y=g(a).\end{cases}}}$ 

Se mostrará que el cociente incremental para ${\displaystyle f\circ g}$  siempre es igual a:

${\displaystyle Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.}$ 

Como quiera que ${\displaystyle g(x)}$  no es igual a ${\displaystyle g(a)}$  lo cual es claro porque los factores de ${\displaystyle g(x)-g(a)}$  se cancelan. Cuando ${\displaystyle g(x)}$  es igual a ${\displaystyle g(a)}$ , entonces el cociente incremental para ${\displaystyle f\circ g}$  es cero porque ${\displaystyle f(g(x))}$  es igual a ${\displaystyle f(g(a))}$  y el producto de arriba es cero porque es igual a ${\displaystyle f'(g(a))}$  por cero, por lo que el producto de arriba siempre es igual al cociente incremental y para demostrar que la derivada de ${\displaystyle f\circ g}$  en ${\displaystyle a}$  existe y determinar su valor, sólo necesitamos demostrar que el límite cuando ${\displaystyle x}$  tiende a ${\displaystyle a}$  del producto de arriba existe y determinar su valor.

Para hacer esto, hay que recordar que el límite de un producto existe, si existe el límite de sus factores existe, cuando esto ocurre, el límite del producto de esos factores será igual al producto de los límites de los factores. Los factores en este caso son ${\displaystyle Q(g(x))}$  y ${\displaystyle (g(x)-g(a))/(x-a)}$ . El último es el cociente incremental para ${\displaystyle g}$  en ${\displaystyle a}$ , y como ${\displaystyle g}$  es diferenciable en ${\displaystyle a}$  como se supuso, su límite cuando ${\displaystyle x}$  tiende a ${\displaystyle a}$  existe y es igual a ${\displaystyle g'(a)}$ .

Para ${\displaystyle Q(g(x))}$ , nótese que ${\displaystyle Q}$  está definida donde lo esté ${\displaystyle f}$  . Más aún, ${\displaystyle f}$  es diferenciable en ${\displaystyle g(a)}$  por hipótesis, así que ${\displaystyle Q}$  es continua en ${\displaystyle g(a)}$ , por la propia definición de la derivada. La función ${\displaystyle g}$  es continua en ${\displaystyle a}$  porque es diferenciable en ${\displaystyle a}$  por lo que ${\displaystyle Q\circ g}$  es continua en ${\displaystyle a}$ . Así que el límite cuando ${\displaystyle x}$  tiende a ${\displaystyle a}$  existe y es igual a ${\displaystyle Q(g(a))}$ , o sea ${\displaystyle f'(g(a))}$ .

Esto muestra que los límites de ambos factores existen y son iguales a ${\displaystyle f'(g(a))}$  y ${\displaystyle g'(a)}$  respectivamente. Por lo tanto, la derivada de ${\displaystyle f\circ g}$  en ${\displaystyle a}$  existe y es igual a ${\displaystyle f'(g(a))g'(a)}$ .^[1]​

Ejemplos

Ejemplo conceptual

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Regla del cociente

La regla de la cadena puede ser utilizada para para obtener algunas fórmulas para derivar, por ejemplo, la regla del cociente es una consecuencia de la regla de la cadena y la regla del producto, para esto, escriba la función ${\displaystyle f(x)/g(x)}$  como el producto ${\displaystyle f(x)\cdot 1/g(x)}$ , utilizando primero la regla del producto:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)&={\frac {d}{dx}}\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{g(x)}}\right)\end{aligned}}}$ 

Para calcular la derivada de ${\displaystyle 1/g(x)}$ , note que es la función compuesta de ${\displaystyle g}$  con la función recíproco ${\displaystyle 1/x}$ , la derivada de esta función es ${\displaystyle -1/x^{2}}$ , aplicando la regla de la cadena la expresión anterior queda como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left(-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)\right)\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\end{aligned}}}$ 

que es la fórmula de la regla del cociente.

Derivada de funciones inversas

Suponga que ${\displaystyle y=g(x)}$  tiene función inversa, llámese ${\displaystyle f}$ , por lo que ${\displaystyle x=f(y)}$ . Existe una fórmula para la derivada de ${\displaystyle f}$  en términos de la derivada de ${\displaystyle g}$ , para esto, note que ${\displaystyle f}$  y ${\displaystyle g}$  satisfacen la ecuación

${\displaystyle f(g(x))=x}$ 

y como las funciones ${\displaystyle f(g(x))}$  y ${\displaystyle x}$  son iguales entonces sus derivadas también son iguales. La derivada de ${\displaystyle x}$  es la constante ${\displaystyle 1}$  y la derivada de ${\displaystyle f(g(x))}$  está dada por la regla de la cadena, por lo que

${\displaystyle f'(g(x))g'(x)=1}$ 

Para expresar ${\displaystyle f'}$  como una función de una variable independiente ${\displaystyle y}$ , reemplazamos ${\displaystyle f(y)}$  por ${\displaystyle x}$  y resolvemos para ${\displaystyle f'}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(g(f(y)))g'(f(y))=1\\f'(y)g'(f(y))=1\\f'(y)={\frac {1}{g'(f(y))}}\end{aligned}}}$ 

Por ejemplo, considere la función ${\displaystyle g(x)=e^{x}}$ , esta tiene función inversa ${\displaystyle f(y)=\ln y}$ , como ${\displaystyle g'(x)=e^{x}}$  entonces por la fórmula anterior

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\ln y={\frac {1}{e^{\ln y}}}={\frac {1}{y}}}$ 

Ejemplo algebraico

Sean

${\displaystyle {\begin{aligned}y(u)&=\ln(u)\\u(x)&=\cos(x)\end{aligned}}}$ 

y deseamos calcular ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}}$ .

Por un lado tenemos:

${\displaystyle {\frac {dy}{du}}={\frac {1}{u}}}$ 

y

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-\operatorname {sen}(x)}$ 

como

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}$ 

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&={\frac {1}{u}}\cdot (-\operatorname {sen} x)\\&=-{\frac {\operatorname {sen} x}{u}}\\&=-{\frac {\operatorname {sen} x}{\cos x}}\\&=-\tan {x}\end{aligned}}}$ 

Otra opción es definiendo la función:

${\displaystyle {\begin{aligned}(y\circ u)(x)&=y(u(x))\\&=\ln({\cos x})\end{aligned}}}$ 

entonces

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\cos {x}}}\cdot (-\operatorname {sen} {x})=-{\frac {\operatorname {sen} {x}}{\cos {x}}}=-\tan {x}}$ 

que es el mismo f o g .

Véase también

• Derivada
• Regla del producto
• Regla del cociente
• Campo tensorial

Referencias

1. «Chain Rule for Derivative — The Theory». Math Vault (en inglés estadounidense). 5 de junio de 2016. Consultado el 16 de septiembre de 2020. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Chain Rule». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q207455