El conteo posee una multiplicidad en un punto fijo denominado el índice de punto fijo. Una versión más débil del teorema es suficiente para demostrar que un mapeo sin ningún punto fijo debe tener propiedades topológicas especiales (como ser la rotación de un círculo).
Enunciado
A continuación se presenta el enunciado formal del teorema. Sea
un mapeo continuo de un espacio triangulable compactoX hacia sí mismo. Se define el número de Lefschetz Λf de f mediante la expresión
la suma alternada (finita) de las trazas de matriz de los mapas lineales inducidos por f en el Hk(X,Q), de homología singular de X con coeficientes racionales.
Una versión simple del teorema del punto fijo de Lefschetz establece que: si
entonces f posee por lo menos un punto fijo, es decir existe por lo menos un x en X tal que f(x) = x. En efecto, dado que el número de Lefschetz ha sido definido a nivel de homología, la conclusión puede ser extendida de manera de indicar que cualquier mapa homotópico de f posee también un punto fijo.
Notar sin embargo que en general el reverso no es cierto: Λf puede ser nulo aún si f posee puntos fijos.
Una versión más fuerte del teorema, también conocido como el teorema de Lefschetz-Hopf, establece que, si f posee una cantidad finita de puntos fijos, entonces
donde Fix(f) es el conjunto de los puntos fijos de f, y i(f,x) es el índice del punto fijo x.
Solomon Lefschetz (1926). «Intersections and transformations of complexes and manifolds». Trans. Amer. Math. Soc.28: 1-49. doi:10.2307/1989171. jstor
Solomon Lefschetz (1937). «On the fixed point formula». Ann. of Math.(4)38: 819-822. doi:10.2307/1968838.
Datos:Q657469
Mayo 03, 2023
teorema, punto, fijo, lefschetz, ámbito, matemáticas, teorema, punto, fijo, lefschetz, fórmula, permite, contar, número, puntos, fijos, mapeo, continuo, desde, espacio, topológico, compacto, mismo, mediante, trazas, mapeos, inducidos, grupos, homólogos, nombre. En el ambito de las matematicas el teorema del punto fijo de Lefschetz es una formula que permite contar el numero de puntos fijos de un mapeo continuo desde un espacio topologico compacto X a si mismo mediante el uso de trazas de los mapeos inducidos en los grupos homologos de X Su nombre hace honor a Solomon Lefschetz quien fue el que lo descubrio en 1926 El conteo posee una multiplicidad en un punto fijo denominado el indice de punto fijo Una version mas debil del teorema es suficiente para demostrar que un mapeo sin ningun punto fijo debe tener propiedades topologicas especiales como ser la rotacion de un circulo Enunciado EditarA continuacion se presenta el enunciado formal del teorema Sea f X X displaystyle f X rightarrow X un mapeo continuo de un espacio triangulable compacto X hacia si mismo Se define el numero de Lefschetz Lf de f mediante la expresion L f k 0 1 k T r f H k X Q displaystyle Lambda f sum k geq 0 1 k mathrm Tr f H k X mathbb Q la suma alternada finita de las trazas de matriz de los mapas lineales inducidos por f en el Hk X Q de homologia singular de X con coeficientes racionales Una version simple del teorema del punto fijo de Lefschetz establece que si L f 0 displaystyle Lambda f neq 0 entonces f posee por lo menos un punto fijo es decir existe por lo menos un x en X tal que f x x En efecto dado que el numero de Lefschetz ha sido definido a nivel de homologia la conclusion puede ser extendida de manera de indicar que cualquier mapa homotopico de f posee tambien un punto fijo Notar sin embargo que en general el reverso no es cierto Lf puede ser nulo aun si f posee puntos fijos Una version mas fuerte del teorema tambien conocido como el teorema de Lefschetz Hopf establece que si f posee una cantidad finita de puntos fijos entonces x F i x f i f x L f displaystyle sum x in mathrm Fix f i f x Lambda f donde Fix f es el conjunto de los puntos fijos de f y i f x es el indice del punto fijo x Vease tambien EditarTeoremas de punto fijo Funcion zeta de LefschetzReferencias EditarSolomon Lefschetz 1926 Intersections and transformations of complexes and manifolds Trans Amer Math Soc 28 1 49 doi 10 2307 1989171 jstor Solomon Lefschetz 1937 On the fixed point formula Ann of Math 4 38 819 822 doi 10 2307 1968838 Datos Q657469 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema del punto fijo de Lefschetz amp oldid 119625179, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
