En teoría de la probabilidad, el teorema de la parada opcional (o teorema del muestreo opcional de Doob) afirma que, bajo ciertas condiciones, la esperanza de una martingala en un tiempo de parada es igual a su valor esperado inicial. Dado que las martingalas pueden utilizarse para modelizar la riqueza de un apostador que participa en un juego justo, el teorema de la parada opcional dice que, en promedio, no puede obtenerse ninguna ganancia parando el juego en base a la información disponible hasta el momento (es decir, sin conocer el resultado futuro).
El teorema de la parada opcional es una importante herramienta en matemática financiera en el contexto del teorema fundamental de valoración de activos.
Enunciado (en tiempo discreto)editar
Sea un espacio de probabilidad filtrado, donde . Sea una -martingala, y sea un -tiempo de parada. Suponemos que se da una de las siguientes tres condiciones:
(a) El tiempo de parada es casi seguramente acotado, es decir, existe una constante tal que casi seguramente.
(b) El tiempo de parada tiene esperanza finita, y las esperanzas condicionales del valor absoluto de los incrementos de son casi seguramente acotadas; más precisamente, y existe una constante tal que casi seguramente en el suceso , para todo .
(c) Existe una constante tal que casi seguramente para todo , donde denota el operador mínimo.
Análogamente, si el proceso estocástico es una submartingala o una supermartingala, y una de las condiciones anteriores se cumple, entonces
o
,
respectivamente.
Observacióneditar
Bajo la condición (c), es posible que el suceso tenga probabilidad estrictamente positiva. En este suceso, se define como el límite puntual de cuando , que existe casi seguramente por el teorema de convergencia de martingalas de Doob.
Datos:Q2027347
Enero 17, 2024
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