En un triángulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz del ángulo interno opuesto.
O lo que es equivalente:
Dado el triángulo ABC, sea AD la bisectriz del ángulo interno A, entonces se cumple la proporción:
Si un ángulo de un triángulo esta dividido en dos partes iguales, y la recta que corta el ángulo corta la base, los segmentos de la base tendrán la misma razón que los lados restantes de este triángulo. Y si los segmentos de la base tienen la misma razón que los otros lados del triángulo, la recta que pasa por el vértice a la sección y el vértice opuesto, dividirá el ángulo del triángulo en dos partes iguales.
Euclides. Los Elementos, libro VI, proposición 3.
Según Heath (1956), la declaración correspondiente para una bisectriz de ángulo externo fue dada por Robert Simson quien afirmó que Pappus asumió este resultado sin pruebas. Heath continúa diciendo que Augustus De Morgan propuso que las dos afirmaciones se combinaran de la siguiente manera:
Si un ángulo de un triángulo es bisecado internamente o externamente por una línea recta que corta el lado opuesto o el lado opuesto producido, los segmentos de ese lado tendrán la misma proporción que los otros lados del triángulo. Y, si un lado de un triángulo se divide internamente o externamente de tal modo que sus segmentos tengan la misma relación que los otros lados del triángulo, la línea recta trazada desde el punto de sección hasta el punto angular opuesto al primer lado mencionado bisecará el ángulo interior o exterior en ese punto angular.
Demostración
Caso de bisectriz interior que interseca el lado opuesto en D
Dado un triángulo ABC y una bisectriz AD, al construir el triángulo isósceles CDE, CD=CE se tiene una semejanza(de tipo AA) entre los triángulos ABD y ACE, quedando así demostrada la relación de proporcionalidad de los triángulos iniciales.
Caso de bisectriz exterior que interseca la prolongación del lado opuesto en D
Dado un triángulo ABC y una bisectriz AD del ángulo exterior en el vértice A, al construir un triángulo ADE igual(congruencia de tipo ALA) al triángulo ADB se tiene la posición anterior para la bisectriz interior demostrada antes.
Por tanto queda probado el teorema para las dos bisectrices.
Notas y referencias
Les Oeuvres D'Euclide,traducción literaria por F. Peyrard,Librairie scientifique et technique Albert Blanchard,1966
Enlaces externos
Demostración del Teorema de la bisectriz en PlanetMath
Otra demostración del Teorema de la bisectriz at PlanetMath
Datos:Q925854
Agosto 13, 2021
teorema, bisectriz, teorema, bisectriz, ángulo, equis, triángulo, teorema, geometría, elemental, cual, consecuencia, corolario, teorema, tales, este, diagrama, siendo, ángulo, bisecado, displaystyle, frac, frac, triángulo, razón, entre, lados, igual, razón, pa. El teorema de la bisectriz del angulo equis de un triangulo es un teorema de la geometria elemental la cual es una consecuencia o corolario del Teorema de Tales En este diagrama siendo A el angulo bisecado B A A C B D D C displaystyle frac BA AC frac BD DC En un triangulo la razon entre dos lados es igual a la razon de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz del angulo interno opuesto O lo que es equivalente Dado el triangulo ABC sea AD la bisectriz del angulo interno A entonces se cumple la proporcion B A A C B D D C displaystyle frac BA AC frac BD DC Historia EditarEl teorema de la bisectriz del angulo aparece en los Elementos de Euclides 1 Si un angulo de un triangulo esta dividido en dos partes iguales y la recta que corta el angulo corta la base los segmentos de la base tendran la misma razon que los lados restantes de este triangulo Y si los segmentos de la base tienen la misma razon que los otros lados del triangulo la recta que pasa por el vertice a la seccion y el vertice opuesto dividira el angulo del triangulo en dos partes iguales Euclides Los Elementos libro VI proposicion 3 Segun Heath 1956 la declaracion correspondiente para una bisectriz de angulo externo fue dada por Robert Simson quien afirmo que Pappus asumio este resultado sin pruebas Heath continua diciendo que Augustus De Morgan propuso que las dos afirmaciones se combinaran de la siguiente manera Si un angulo de un triangulo es bisecado internamente o externamente por una linea recta que corta el lado opuesto o el lado opuesto producido los segmentos de ese lado tendran la misma proporcion que los otros lados del triangulo Y si un lado de un triangulo se divide internamente o externamente de tal modo que sus segmentos tengan la misma relacion que los otros lados del triangulo la linea recta trazada desde el punto de seccion hasta el punto angular opuesto al primer lado mencionado bisecara el angulo interior o exterior en ese punto angular DemostracionCaso de bisectriz interior que interseca el lado opuesto en D Dado un triangulo ABC y una bisectriz AD al construir el triangulo isosceles CDE CD CE se tiene una semejanza de tipo AA entre los triangulos ABD y ACE quedando asi demostrada la relacion de proporcionalidad de los triangulos iniciales A B A C B D C E B D C D displaystyle frac AB AC frac BD CE frac BD CD Caso de bisectriz exterior que interseca la prolongacion del lado opuesto en D Dado un triangulo ABC y una bisectriz AD del angulo exterior en el vertice A al construir un triangulo ADE igual congruencia de tipo ALA al triangulo ADB se tiene la posicion anterior para la bisectriz interior demostrada antes A B A C A E A C E D C D B D C D displaystyle frac AB AC frac AE AC frac ED CD frac BD CD Por tanto queda probado el teorema para las dos bisectrices Notas y referencias Editar Les Oeuvres D Euclide traduccion literaria por F Peyrard Librairie scientifique et technique Albert Blanchard 1966Enlaces externos EditarDemostracion del Teorema de la bisectriz en PlanetMath Otra demostracion del Teorema de la bisectriz at PlanetMath Datos Q925854Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema de la bisectriz amp oldid 136244544, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
