En matemáticas, el teorema de Stolz-Cesàro es un criterio para probar la convergencia de una sucesión. Su aplicación permite la resolución de algunos tipos de indeterminaciones. Este teorema puede ser visto en cierta forma como una generalización del promedio de Cesàro. Recibe su nombre por los matemáticos Otto Stolz y Ernesto Cesàro.
Es utilizado frecuentemente para resolver indeterminaciones del tipo .Otra forma de enunciación es la siguiente:
Sean y dos sucesiones de números reales. Asumiendo que sea positiva, estrictamente creciente y no acotada y que exista el siguiente límite:
Entonces podemos asegurar que el límite
existe y es igual a siempre y cuando el denominador sea distinto de cero.
Criterio de Stolz de la raíz
Sean y dos sucesiones tales que,
es monótona creciente y divergente
Entonces,
Forma general
La forma general del teorema de Stolz–Cesàro es la siguiente: [1] Si y son dos sucesiones tales que es monótona y no acotada, entonces:
Ejemplos
Criterio del cociente
El criterio de Stolz del cociente permite demostrar la convergencia a de la sucesión dada por[2]
Para ello, se considera la sucesión del numerador, , y la del denominador, (es monótona creciente y divergente a ). Por aplicación del criterio,
Criterio de la raíz
Por el criterio de la raíz, se tiene el siguiente límite:[3]
Para demostrarlo, es suficiente considerar que la sucesión y tener en cuenta que
Referencias
«L'Hôpital's rule and Stolz-Cesàro theorem». Consultado el 18 de mayo de 2019.
Llopis, José L. «Criterio de convergencia de Stolz del cociente». Consultado el 18 de mayo de 2019.
Llopis, José L. «Criterio de convergencia de la media geométrica y de la raíz». Consultado el 18 de mayo de 2019.
Enlaces externos
Prueba del teorema de Stolz–Cesàro
Datos:Q1052752
Agosto 24, 2021
teorema, stolz, cesàro, matemáticas, teorema, stolz, cesàro, criterio, para, probar, convergencia, sucesión, aplicación, permite, resolución, algunos, tipos, indeterminaciones, este, teorema, puede, visto, cierta, forma, como, generalización, promedio, cesàro,. En matematicas el teorema de Stolz Cesaro es un criterio para probar la convergencia de una sucesion Su aplicacion permite la resolucion de algunos tipos de indeterminaciones Este teorema puede ser visto en cierta forma como una generalizacion del promedio de Cesaro Recibe su nombre por los matematicos Otto Stolz y Ernesto Cesaro Indice 1 Criterio de Stolz del cociente 2 Criterio de Stolz de la raiz 3 Forma general 4 Ejemplos 4 1 Criterio del cociente 4 2 Criterio de la raiz 5 Referencias 6 Enlaces externosCriterio de Stolz del cociente EditarSean a n displaystyle a n y b n displaystyle b n dos sucesiones tales que lim n a n 0 displaystyle lim n to infty a n 0 b n displaystyle b n es monotona decreciente y lim n b n 0 displaystyle lim n to infty b n 0 o bien b n displaystyle b n es monotona creciente y divergente a displaystyle infty lim n a n 1 a n b n 1 b n l l R displaystyle lim n to infty frac a n 1 a n b n 1 b n lambda lambda in mathbb R Entonces el limite lim n a n b n l displaystyle lim n to infty frac a n b n lambda Es utilizado frecuentemente para resolver indeterminaciones del tipo displaystyle frac infty infty Otra forma de enunciacion es la siguiente Sean a n n 1 displaystyle a n n geq 1 y b n n 1 displaystyle b n n geq 1 dos sucesiones de numeros reales Asumiendo que b n displaystyle b n sea positiva estrictamente creciente y no acotada y que exista el siguiente limite lim n a n 1 a n b n 1 b n l displaystyle lim n to infty frac a n 1 a n b n 1 b n l Entonces podemos asegurar que el limite lim n a n b n displaystyle lim n to infty frac a n b n existe y es igual a l displaystyle l siempre y cuando el denominador sea distinto de cero Criterio de Stolz de la raiz EditarSean a n displaystyle a n y b n displaystyle b n dos sucesiones tales que a n gt 0 n N displaystyle a n gt 0 forall n in mathbb N b n displaystyle b n es monotona creciente y divergente b n gt 0 n displaystyle b n gt 0 forall n lim n a n 1 a n b n 1 b n l l R displaystyle lim n to infty sqrt b n 1 b n frac a n 1 a n lambda lambda in mathbb R Entonces lim n a n b n l displaystyle lim n to infty sqrt b n a n lambda Forma general EditarLa forma general del teorema de Stolz Cesaro es la siguiente 1 Si a n n 1 displaystyle a n n geq 1 y b n n 1 displaystyle b n n geq 1 son dos sucesiones tales que b n n 1 displaystyle b n n geq 1 es monotona y no acotada entonces lim inf n a n 1 a n b n 1 b n lim inf n a n b n lim sup n a n b n lim sup n a n 1 a n b n 1 b n displaystyle liminf n to infty frac a n 1 a n b n 1 b n leq liminf n to infty frac a n b n leq limsup n to infty frac a n b n leq limsup n to infty frac a n 1 a n b n 1 b n Ejemplos EditarCriterio del cociente Editar El criterio de Stolz del cociente permite demostrar la convergencia a 1 3 displaystyle 1 3 de la sucesion dada por 2 x n 1 2 2 2 n 2 n 3 displaystyle x n frac 1 2 2 2 cdots n 2 n 3 Para ello se considera la sucesion del numerador a n 1 2 2 2 n 2 displaystyle a n 1 2 2 2 cdots n 2 y la del denominador b n n 3 displaystyle b n n 3 es monotona creciente y divergente a displaystyle infty Por aplicacion del criterio lim n x n lim n a n 1 a n b n 1 b n 1 3 displaystyle lim n to infty x n lim n to infty frac a n 1 a n b n 1 b n frac 1 3 Criterio de la raiz Editar Por el criterio de la raiz se tiene el siguiente limite 3 lim n n 2 1 n 1 displaystyle lim n to infty sqrt n n 2 1 1 Para demostrarlo es suficiente considerar que la sucesion a n n 2 1 displaystyle a n n 2 1 y tener en cuenta quelim n a n a n 1 1 displaystyle lim n to infty frac a n a n 1 1 Referencias Editar L Hopital s rule and Stolz Cesaro theorem Consultado el 18 de mayo de 2019 Llopis Jose L Criterio de convergencia de Stolz del cociente Consultado el 18 de mayo de 2019 Llopis Jose L Criterio de convergencia de la media geometrica y de la raiz Consultado el 18 de mayo de 2019 Enlaces externos EditarPrueba del teorema de Stolz Cesaro Datos Q1052752Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema de Stolz Cesaro amp oldid 119496762, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,