Teorema de Euler sobre funciones homogéneas

El teorema de Euler sobre funciones homogéneas, es una caracterización de las funciones homogéneas.

Enunciado

Una función ${\displaystyle f=f(x,y,z)\,}$  se dice función homogénea de grado k si para cualquier valor arbitrario ${\displaystyle \lambda \,}$ :

${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda ^{k}f(x,y,z)\,}$ 

Si una función ${\displaystyle \scriptstyle f=f(x,y,z)}$  es una función homogénea de grado k podemos afirmar que:

${\displaystyle x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}+z{\frac {\partial f}{\partial z}}=kf}$ 

Es decir, de manera más simplificada:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=kf}$ 

Demostración

Escribiendo ${\displaystyle \scriptstyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$  y ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ 

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}$ 

diferenciando la ecuación con respecto a ${\displaystyle \alpha \,}$  encontramos, aplicando la regla de la cadena, que

${\displaystyle {\frac {\partial f(\alpha \mathbf {x} )}{\partial \alpha }}={\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left(\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )\right)\qquad \Rightarrow }$ 

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )}$ 

Así que:

${\displaystyle x_{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x_{n}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )}$ 

En concreto, eligiendo ${\displaystyle \alpha =1}$ , la anterior ecuación puede reescribirse como:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} ),\qquad \qquad \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)}$ ,

lo cual prueba el resultado.

Para una demostración del recíproco, ver [1].

• Supongamos que ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$  es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas paraciales de primer orden ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$  son funciones homogéneas de grado k-1.

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo ${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$  y diferenciado la ecuación

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}$ 

con respecto a ${\displaystyle x_{i}\,}$ , encontramos por la regla de la cadena que:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(\alpha x_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(x_{i})}$ 

Y por tanto:

${\displaystyle \alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}$ 

Y finalmente:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}$ 

Aplicaciones del teorema

Aplicaciones en termodinámica

Si la función de estado termodinámica es:

• Homogénea de grado 1: función de variables extensivas : ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=f}$ 
• Homogénea de grado 0: función de variables intensivas : ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=0}$ 

Bibliografía

• Curso de Termodinámica José Aguilar Peris
• Apuntes de la asignatura Fundamentos de termodinámica Grado de Física, Universidad de Santiago de Compostela, España

•   Datos: Q3526987