Teorema de Euler para poliedros

En 1750, Leonhard Euler escribió su teorema para poliedros (publicado posteriormente en la obra "Elementa doctrinae solidorum" en 1758), el cual indica la relación entre el número de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo^[1]​ (sin orificios, ni entrantes). El famoso teorema o fórmula expresa una constante que no se altera en caso de rotaciones, traslaciones de dichos poliedros. En la proposición también concluye que solo pueden ser cinco los sólidos regulares y establece para ellos varias relaciones:

Teorema de los poliedros

1. ${\displaystyle C+V=A+2}$ 
2. ${\displaystyle n\cdot C=2A}$ 
   
   
3. ${\displaystyle r\cdot V=2A}$ 
   
   
4. ${\displaystyle {\frac {2A}{r}}-A+{\frac {2A}{n}}=2}$ 
   
   
5. ${\displaystyle {\frac {1}{n}}+{\frac {1}{r}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{A}}}$ 
   

donde:

${\displaystyle C}$  = Número de caras
${\displaystyle V}$  = Número de vértices
${\displaystyle A}$  = Número de aristas
${\displaystyle n}$  = Número de lados del polígono regular
${\displaystyle r}$  = Número de aristas que convergen en los vértices

La relación (1) se llama característica de Euler y sigue cumpliéndose para todos los poliedros convexos.

Ejemplo

Para un cubo se tiene ${\displaystyle C=6,A=12,V=8}$ . La característica de Euler es ${\displaystyle V-A+C=2}$ . Cada cara es un cuadrado, por tanto ${\displaystyle n=4}$ . En cada vértice concurren ${\displaystyle r=3}$  aristas.

• Los casos más conocidos corresponden a los poliedros regulares:tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Demostración

Cabe decir que Euler jamás fue capaz de dar una demostración correcta de este resultado, de hecho la que aparece en su "Elementa doctrinae solidorum" era errónea. Anteriormente a 1750 pocos fueron los que se dedicaron a este asunto. René Descartes se había ocupado de escribir el primer tratado sobre poliedros, pero murió antes de poder publicarlo. Tras su muerte, sus trabajos fueron trasladados a Francia, donde después de sufrir algún percance en dicho traslado (parece ser que cayeron a un río y fueron recuperados y secados), llegaron a las manos de Gottfried Wilhelm Leibniz, quien se encargó de transcribir parte de dichos trabajos. Sin embargo dichas transcripciones no vieron la luz hasta después de 1860, casi 80 años después de la muerte de Euler. Fue Augustin Louis Cauchy quien, en 1811, publicó la primera demostración general que se conoce.

Supóngase que se elimina una cara del poliedro. El resto del poliedro puede ser deformado, de manera que se convierta en una figura plana de puntos y curvas cuya frontera corresponda a las aristas de la cara eliminada (basta simplemente con proyectarlo sobre un plano). Puede suponerse, sin pérdida de generalidad por ello, que las aristas deformadas son segmentos de líneas rectas. Al realizar la proyección, a pesar de que las caras pueden presentar una forma distinta, es evidente que el número de vértices, caras y aristas coinciden con los del poliedro de partida (suponiendo que la cara extraída corresponde al exterior de la figura).

A continuación se aplican las siguientes transformaciones que simplifican la figura, pero que no afectan a la característica de Euler ${\displaystyle V-A+C}$ :

1. Si algún polígono tiene más de tres lados, se dibuja una diagonal. Esto añade una arista y una cara. Se continúa así hasta que todas las caras sean triangulares.
2. Se elimina de uno en uno los triángulos con un solo lado en contacto con el exterior. Esto disminuye el número de aristas y caras en una unidad, pero no altera el número de vértices.
3. Se elimina de uno en uno todos los triángulos que tienen dos lados en contacto con el exterior de la figura. Esto elimina un vértice, dos aristas y una cara.

Aplicando sucesivamente los pasos 2 y 3, al final queda un único triángulo. Resulta evidente que ahora ${\displaystyle C=2}$  (contando el exterior), ${\displaystyle V=3}$  y ${\displaystyle A=3}$ , cuya característica de Euler es 2.

 

Teorema de Euler paso a paso en el cubo.

Otros casos

Pirámide pentagonal

1. Base:1 pentágono simple; caras laterales: 5 triángulos escalenos (en general). Números de caras=6=C.
2. Aristas: 5 de la base y 5 de los vértices de la base al vértice de la pirámide. Número de aristas=A=10
3. Vértices: 5 en la base y el ápice 1. Número de vértices = V=6
4. Se cumple la característica euleriana: C+V=A+2, ya que 6+6=10+2.

Prisma triangular

1. 2 bases: triángulos; tres caras laterales: paralelogramos. Número de caras=C=5
2. Aristas: 6 en ambas bases y 3 en caras laterales. Número de aristas=A=9
3. Vértices: 3 en cada bas. Número de vértices=V=6
4. Se cumple la característica euleriana:C+V=A+2, ya que 5+6=9+2.^[2]​

Véase también

• Característica de Euler

Referencias

1. Una definición: Un poliedro es convexo si el sólido queda por completo de un mismo lado de un plano que contiene a una cara cualquiera. (Geometría superior), de Bruño.
2. Adaptación del libro Característica euleriana de Yu. Shashkin Editorial Mir, Moscú.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Polyhedral Formula». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Euler, Leonhard (1758). Elementa doctrinae solidorum.

•   Datos: Q516403