El punto de intersección P se denomina punto de Brianchon.
El teorema de Brianchon se cumple en el plano afín y en el plano proyectivo real. Sin embargo, su enunciado en el plano afín puede ser menos informativo y más complicado que en el plano proyectivo. Considérese, por ejemplo, el caso de cinco rectas tangentes a una parábola. Pueden ser considerardas como cinco de los seis lados de un hexágono, siendo el lado restante la recta del infinito; sin embargo, no hay tal recta en el plano afín (ni en el plano proyectivo a menos que uno escoja una recta para desempeñar ese papel). Una recta que vaya desde un vértice al vértice opuesto sería entonces una recta paralela a una de las cinco rectas tangentes. El teorema de Brianchon para el plano afín no informaría de una situación así.
El teorema dual de este teorema es el teorema de Pascal, que tiene excepciones en el plano afín pero no en el proyectivo.
El teorema de Brianchon se puede demostrar mediante el concepto de eje radical o la reciprocación.
Teorema de Pascal. Recta de Pascal OPQ del hexágono ABCDEF inscrito en una elipse.
Teorema de Brianchon. El punto de Brianchon.
Brianchon demostró el teorema que lleva su nombre:
"En cualquier hexágono circunscrito a una cónica, las tres diagonales se cortan en el mismo punto" (el punto de la cónica).
Los teoremas de Pascal y Brianchon ocupan una posición clave en el estudio de las cónicas desde el punto de vista proyectivo. Forman, también, el primer ejemplo claro de un par de teoremas duales importante.
Dos teoremas se llaman duales si se transforma uno en el otro cuando todos los elementos y todas las operaciones se sustituyen por sus duales correspondientes. En la geometría plana el punto y la línea recta se denominan elementos duales. Dibujar una línea a través de un punto en una línea y marcar un punto en una línea son operaciones duales. La naturaleza dual de los teoremas de Pascal y Brianchon es evidente si se formulan de la siguiente manera:
Teorema de Pascal: "dados seis puntos en una cónica, prolónguense los lados opuestos dos a dos hasta que se corten. Entonces los tres puntos obtenidos por la intersección están situados en una misma línea recta."
Teorema de Brianchon: "dadas seis tangentes a una cónica, crúcense dos a dos determinando seis puntos de intersección. Entonces las tres líneas rectas que unen estos puntos opuestos se cruzan en un mismo punto."
Estas relaciones entre los puntos y las líneas rectas de un cono más tarde fueron explotadas eficazmente por Jean Victor Poncelet (1788-1867). Entre los primeros descubrimientos realizados por Poncelet hubo uno que hizo en colaboración con Brianchon y que se publicó en un artículo firmado en los Annales de Gergonne de 1820-1821. En este artículo Brianchon y Poncelet aportaban una prueba del teorema que establece que:
"La circunferencia que pasa a través de los pies de las perpendiculares, bajados por los vértices de un triángulo en lados opuestos, también pasa a través de los puntos de la mitad de estos lados, así como por los puntos de la mitad de los segmentos que unen los vértices con el punto de intersección de la perpendicular",
es decir, en la circunferencia de los nueve puntos (ver la figura) por los puntos D, E y F, el pie de las alturas relativas de los tres lados del triángulo, pasa a través de los puntos H, I y G, que son los puntos medios de los lados del triángulo. Además, el círculo también pasará a través de los puntos L, M y N puntos medios de los segmentos AO, BO y CO.
teorema, brianchon, geometría, teorema, brianchon, nombrado, así, honor, charles, julien, brianchon, 1783, 1864, establece, siguiente, abcdef, hexágono, formado, seis, rectas, tangentes, sección, cónica, entonces, segmentos, intersecan, solo, punto, punto, int. En geometria el teorema de Brianchon nombrado asi en honor a Charles Julien Brianchon 1783 1864 establece lo siguiente Teorema de Brianchon Sea ABCDEF un hexagono formado por seis rectas tangentes de una seccion conica Entonces los segmentos AD BE CF se intersecan en un solo punto P El punto de interseccion P se denomina punto de Brianchon El teorema de Brianchon se cumple en el plano afin y en el plano proyectivo real Sin embargo su enunciado en el plano afin puede ser menos informativo y mas complicado que en el plano proyectivo Considerese por ejemplo el caso de cinco rectas tangentes a una parabola Pueden ser considerardas como cinco de los seis lados de un hexagono siendo el lado restante la recta del infinito sin embargo no hay tal recta en el plano afin ni en el plano proyectivo a menos que uno escoja una recta para desempenar ese papel Una recta que vaya desde un vertice al vertice opuesto seria entonces una recta paralela a una de las cinco rectas tangentes El teorema de Brianchon para el plano afin no informaria de una situacion asi El teorema dual de este teorema es el teorema de Pascal que tiene excepciones en el plano afin pero no en el proyectivo El teorema de Brianchon se puede demostrar mediante el concepto de eje radical o la reciprocacion Relacion con el Teorema de Pascal Editar Teorema de Pascal Recta de Pascal OPQ del hexagono ABCDEF inscrito en una elipse Teorema de Brianchon El punto de Brianchon Brianchon demostro el teorema que lleva su nombre En cualquier hexagono circunscrito a una conica las tres diagonales se cortan en el mismo punto el punto de la conica Los teoremas de Pascal y Brianchon ocupan una posicion clave en el estudio de las conicas desde el punto de vista proyectivo Forman tambien el primer ejemplo claro de un par de teoremas duales importante Dos teoremas se llaman duales si se transforma uno en el otro cuando todos los elementos y todas las operaciones se sustituyen por sus duales correspondientes En la geometria plana el punto y la linea recta se denominan elementos duales Dibujar una linea a traves de un punto en una linea y marcar un punto en una linea son operaciones duales La naturaleza dual de los teoremas de Pascal y Brianchon es evidente si se formulan de la siguiente manera Teorema de Pascal dados seis puntos en una conica prolonguense los lados opuestos dos a dos hasta que se corten Entonces los tres puntos obtenidos por la interseccion estan situados en una misma linea recta Teorema de Brianchon dadas seis tangentes a una conica crucense dos a dos determinando seis puntos de interseccion Entonces las tres lineas rectas que unen estos puntos opuestos se cruzan en un mismo punto Estas relaciones entre los puntos y las lineas rectas de un cono mas tarde fueron explotadas eficazmente por Jean Victor Poncelet 1788 1867 Entre los primeros descubrimientos realizados por Poncelet hubo uno que hizo en colaboracion con Brianchon y que se publico en un articulo firmado en los Annales de Gergonne de 1820 1821 En este articulo Brianchon y Poncelet aportaban una prueba del teorema que establece que La circunferencia que pasa a traves de los pies de las perpendiculares bajados por los vertices de un triangulo en lados opuestos tambien pasa a traves de los puntos de la mitad de estos lados asi como por los puntos de la mitad de los segmentos que unen los vertices con el punto de interseccion de la perpendicular es decir en la circunferencia de los nueve puntos ver la figura por los puntos D E y F el pie de las alturas relativas de los tres lados del triangulo pasa a traves de los puntos H I y G que son los puntos medios de los lados del triangulo Ademas el circulo tambien pasara a traves de los puntos L M y N puntos medios de los segmentos AO BO y CO Referencias EditarCoxeter H S M 1987 Projective Geometry 2nd ed edicion Springer Verlag Theorem 9 15 p 83 ISBN 0 387 96532 7 Datos Q119450 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Teorema de Brianchon amp oldid 124304232, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
