Teoría de la percolación

En física estadística y matemáticas, la teoría de la percolación describe el comportamiento de una red cuando se agregan nodos o enlaces. Este es un tipo geométrico de transición de fase, ya que en una fracción crítica de la adición, la red de grupos pequeños desconectados se fusiona formando una estructura conectada significativamente más grande, el llamado grupo de expansión. Las aplicaciones de la teoría de la percolación a la ciencia de materiales y en muchas otras disciplinas se discuten aquí y en los artículos dedicados al análisis de redes y a la percolación.

Gráfico tridimensional de un modelo de percolación

Introducción

 

Percolación de enlaces en una retícula cuadrada de p=0.3 a p=0.52

La teoría de Flory-Stockmayer fue el primer desarrollo científico que investigó los procesos de percolación.^[1]​

Una pregunta representativa (y el origen de la etimología del nombre) es la siguiente. Supóngase que se vierte algo de líquido sobre algún material poroso. ¿Podrá el líquido pasar de un agujero a otro y llegar al fondo? Esta pregunta física es modelada matemáticamente como una red tridimensional de n × n × n vértices, generalmente llamados "sitios", en los que los lados o "enlaces" entre cada dos elementos vecinos pueden estar abiertos (permitiendo el paso del líquido) con probabilidad p, o cerrados con probabilidad 1 – p, y se supone que son independientes. Por lo tanto, para un p dado, ¿cuál es la probabilidad de que exista una ruta abierta (es decir, un camino, cada uno de cuyos enlaces es un enlace "abierto") de arriba abajo? El comportamiento con valores de n grandes es de interés principal. Este problema, llamado ahora percolación de enlaces, fue introducido en la literatura matemática por Broadbent y Hammersley (1957),^[2]​ y ha sido estudiado intensamente por matemáticos y físicos desde entonces.

En un modelo matemático ligeramente diferente para obtener un gráfico aleatorio, un sitio está "ocupado" con probabilidad p o "vacío" (en cuyo caso se eliminan sus bordes) con probabilidad 1 – p; el problema correspondiente se llama filtración del sitio. La pregunta es la misma: para una p dada, ¿cuál es la probabilidad de que exista un camino entre la parte superior y la inferior? De manera similar, se puede preguntar, dado un gráfico conectado, en qué fracción 1 – p de interrupciones se desconectará el gráfico (sin componente grande).

 

Determinación de la percolación de una red de tubos 3D

Se pueden hacer las mismas preguntas para cualquier dimensión de celosía. Como es bastante típico, en realidad es más fácil examinar redes infinitas que solo las grandes. En este caso, la pregunta correspondiente es: ¿existe un cúmulo abierto infinito? Es decir, ¿existe un camino de puntos conectados de longitud infinita "a través" de la red? Por la ley cero-uno de Kolmogórov, para cualquier p dado, la probabilidad de que exista un grupo infinito es cero o uno. Dado que esta probabilidad es una función creciente de p (prueba a través del argumento de acoplamiento), debe haber un p crítico (denotado por p_c) por debajo del cual la probabilidad es siempre 0 y por encima del cual la probabilidad es siempre es 1. En la práctica, esta criticidad es muy fácil de observar. Incluso para n tan pequeño como 100, la probabilidad de una ruta abierta de arriba abajo aumenta drásticamente de muy cerca de cero a muy cerca de uno en un intervalo corto de valores de p.

 

Detalle de una percolación de enlace en la retícula cuadrada en dos dimensiones con probabilidad de percolación p = 0.51

Para la mayoría de los gráficos de celosía infinita, p_c no se puede calcular exactamente, aunque en algunos casos de p_c existe un valor exacto. Por ejemplo:

• Para una retícula cuadrada ℤ² en dos dimensiones, p_c = 1/2 para percolación de enlaces, un hecho que fue una cuestión abierta durante más de 20 años y finalmente fue resuelto por Harry Kesten a principios de la década de 1980,^[3]​ (véase Kesten (1982)). Para la percolación del sitio, el valor de p_c no se conoce a partir de la derivación analítica, sino solo a través de simulaciones de rejillas grandes.^[4]​
• Un caso límite para retículas de grandes dimensiones lo da la retícula de Bethe, cuyo umbral está en p_c = 1/z − 1 para un número de coordinación z. En otras palabras: para el árbol regular de grado ${\displaystyle z}$ , ${\displaystyle p_{c}}$  es igual a ${\displaystyle 1/(z-1)}$ .

 

Frente de percolación

• Para redes de Erdős-Rényi aleatorias de grado medio ${\displaystyle \langle k\rangle }$ , p_c = 1/⟨k⟩.^[5]​^[6]​^[7]​

Universalidad

El principio de universalidad establece que el valor numérico de p_c está determinado por la estructura local del gráfico, mientras que el comportamiento cerca del umbral crítico, p_c, se caracteriza por un exponente crítico universal. Por ejemplo, la distribución del tamaño de los conglomerados en la criticidad decae como una ley de potencia con el mismo exponente para todos los retículos 2d. Esta universalidad significa que para una dimensión dada, los diversos exponentes críticos, la dimensión fractal de los grupos en p_c es independiente del tipo de retícula y del tipo de percolación (por ejemplo, enlace o sitio). Sin embargo, recientemente se ha realizado la percolación en un retículo estocástico plano ponderado y se encontró que aunque su dimensión coincide con la dimensión del espacio donde está incrustado, su clase de universalidad es diferente a la de todos los retículos planos conocidos.^[8]​^[9]​

Fases

Subcrítica y supercrítica

El hecho principal en la fase subcrítica es el "decaimiento exponencial". Es decir, cuando p < p_c, la probabilidad de que un punto específico (por ejemplo, el origen) esté contenido en un grupo abierto (es decir, un conjunto conectado máximo de bordes "abiertos" del gráfico) de tamaño r decrece a cero exponencialmente en r . Esto fue probado para la percolación en tres y más dimensiones por Menshikov (1986) e independientemente por Aizenman y Barsky (1987). En dos dimensiones, formó parte de la prueba de Kesten de que p_c = 1/2.^[10]​

El grafo dual de la retícula cuadrada ℤ² es también la retícula cuadrada. De ello se deduce que, en dos dimensiones, la fase supercrítica es dual a un proceso de percolación subcrítica. Esto proporciona esencialmente información completa sobre el modelo supercrítico con d = 2. El resultado principal para la fase supercrítica en tres y más dimensiones es que, para N suficientemente grande, hay ^{[aclaración requerida]} un cúmulo abierto infinito en la losa bidimensional ℤ² × [0, N]^{d − 2}. Esto fue probado por Grimmett y Marstrand (1990).^[11]​

En dos dimensiones con p < 1/2, hay una probabilidad de que exista un grupo cerrado infinito único (un grupo cerrado es un conjunto conectado máximo de bordes "cerrados" del gráfico). Por tanto, la fase subcrítica puede describirse como islas abiertas finitas en un océano cerrado infinito. Cuando p > 1/2 ocurre todo lo contrario, con islas cerradas finitas en un océano abierto infinito. El panorama es más complicado cuando d ≥ 3 desde p_c < 1/2, y hay coexistencia de clústeres infinitos abiertos y cerrados para p entre p_c y 1 − p_c.

Para conocer la naturaleza de transición de fase de la percolación, consúltese Stauffer y Aharony^[12]​ y Bunde y Havlin.^[13]​ Para la filtración de redes, consúltese Cohen y Havlin.^[14]​

Criticidad

 

Zoom en un grupo de percolación crítico

La percolación tiene una singularidad en el punto crítico p = p_c y muchas propiedades se comportan como una ley de potencia con ${\displaystyle p-p_{c}}$ , cerca de ${\displaystyle p_{c}}$ . La teoría de la escala predice la existencia de un exponente crítico, dependiendo del número d de dimensiones, que determinan la clase de singularidad. Cuando d = 2, estas predicciones están respaldadas por argumentos de teoría conforme de campos y de la evolución de Schramm–Loewner, e incluyen valores numéricos predichos para los exponentes. Los valores de los exponentes los dan Stauffer, Dietrich y Aharony^[12]​ y Bunde y Havlin.^[13]​ La mayoría de estas predicciones son conjeturas, excepto cuando el número de dimensiones d satisface que d = 2 o d ≥ 6. Incluyen:

• No hay clústeres infinitos (abiertos o cerrados)
• La probabilidad de que haya un camino abierto desde algún punto fijo (por ejemplo, el origen) a una distancia de r disminuye polinomialmente, es decir, es del orden de r^α para algunos α
  • α no depende de la retícula particular elegida ni de otros parámetros locales. Depende solo de la dimensión d (esta es una instancia del principio de universalidad).
  • α_d disminuye desde d = 2 hasta d = 6 y luego permanece fijo.
  • α₂ = −5/48
  • α₆ = −1.
• La forma de un gran grupo en dos dimensiones es conformemente invariante.

Véase Grimmett (1999).^[15]​ En 11 o más dimensiones, estos hechos se prueban en gran medida utilizando una técnica conocida como expansión de encaje. Se cree que una versión de la expansión de encaje debería ser válida para 7 o más dimensiones, quizás con implicaciones también para el caso umbral de 6 dimensiones. La conexión de la percolación con la expansión de encaje se encuentra en Hara y Slade (1990).^[16]​

En dos dimensiones, el primer hecho ("sin percolación en la fase crítica") se prueba para muchas retículas, utilizando la dualidad. Se ha logrado un progreso sustancial en el análisis de la percolación bidimensional a través de la conjetura de Oded Schramm de que el límite de escala de un gran cúmulo puede describirse en términos de una evolución de Schramm-Loewner. Esta conjetura fue probada por Smirnov (2001)^[17]​ en el caso especial de percolación del sitio en una red triangular.

Diferentes modelos

• La percolación dirigida, que modela el efecto de fuerzas gravitatorias actuando en un líquido, también se introdujo en Broadbent y Hammersley (1957),^[2]​ y tiene conexiones con los procesos de contacto.
• El primer modelo estudiado fue la percolación de Bernoulli. En este modelo, todos los enlaces son independientes. Los físicos llaman a este modelo percolación de enlaces.
• A continuación se introdujo una generalización mediante el modelo de conglomerado aleatorio de Fortuin-Kasteleyn, que tiene muchas conexiones con el modelo de Ising y otros modelos de Potts.
• La percolación de Bernoulli (enlace) en grafos completos es un ejemplo de grafo aleatorio. La probabilidad crítica es p = 1/N, donde N es el número de vértices (sitios) del gráfico.
• La percolación de arrancamiento elimina las celdas activas de los cúmulos cuando tienen muy pocos vecinos activos y analiza la conectividad de las celdas restantes.^[18]​
• Percolación del primer paso.
• Percolación de invasión.
• La percolación con enlaces de dependencia fue introducida por Parshani et al.^[19]​
• Modelo de filtración y difusión de opinión.^[20]​
• La filtración bajo ataque localizado fue introducida por Berezin et al.^[21]​ Véase también Shao et al.^[22]​
• La filtración de redes modulares ha sido estudiada por Shay et al.^[23]​ y Dong et al.^[24]​
• La percolación en estructuras modulares espaciales ha sido estudiada por Gross et al.^[25]​
• La percolación del tráfico en las ciudades fue introducida por Daqing Li et al.^[26]​ y por Zeng et al.^[27]​
• Introducción a la recuperación de nodos y enlaces en percolación.^[28]​
• Percolación en 2d con una longitud de enlace característica.^[29]​ El modelo muestra un nuevo fenómeno, llamado estiramiento crítico, en la estructura y funcionamiento de la red cerca de su umbral crítico de percolación.^[30]​
• Un modelo de percolación generalizado y descentralizado que introduce una fracción de nodos reforzados en una red que puede funcionar y soportar su vecindario ha sido introducido por Yuan et al.^[31]​

Aplicaciones

En biología, bioquímica y virología física

La teoría de la percolación se ha utilizado para predecir con éxito la fragmentación de las capas de virus biológicos (cápsides),^[32]​^[33]​ con el umbral de fragmentación de la cápside del virus de la hepatitis B, predicho y detectado experimentalmente.^[34]​ Cuando un número crítico de subunidades se ha eliminado aleatoriamente de la capa nanoscópica, esta se fragmenta, fragmentación que a su vez puede detectarse mediante espectroscopía de masas con detección de carga (CDMS), entre otras técnicas de partícula única. Este es un análogo molecular del juego de mesa común llamado jenga, y tiene relevancia para el estudio más amplio del desmontaje de virus. Curiosamente, las partículas virales más estables (teselaciones con mayores umbrales de fragmentación) se encuentran en mayor abundancia en la naturaleza.^[32]​

En ecología

La teoría de la filtración se ha aplicado a estudios sobre cómo la fragmentación del medio ambiente afecta a los hábitats de los animales^[35]​ y a los modelos de cómo se propaga la bacteria de la plaga yersinia pestis.^[36]​

Percolación de redes interdependientes multicapa

Buldyrev y sus colaboradores^[37]​ desarrollaron un marco para estudiar la percolación en redes multicapa con dependencia de enlaces entre las capas. Se han encontrado nuevos fenómenos físicos, incluidas transiciones abruptas y fallos en cascada.^[38]​ Cuando las redes están incrustadas en el espacio, se vuelven extremadamente vulnerables incluso para una fracción muy pequeña de enlaces de dependencia^[39]​ y para ataques localizados en una fracción cero de nodos.^[40]​^[41]​ Cuando se introduce la recuperación de nodos, se encuentra un diagrama de fases rico que incluye puntos multicríticos, histéresis y regímenes metaestables.^[42]​^[43]​

En tráfico

En artículos recientes, la teoría de la percolación se ha aplicado para estudiar el tráfico en una ciudad. La calidad del tráfico global en una ciudad en un momento dado se puede caracterizar por un solo parámetro, el umbral crítico de percolación, que representa la velocidad por debajo de la cual se puede circular en una gran parte de la red viaria de una ciudad. Por encima de este umbral, la red de la ciudad se divide en grupos de muchos tamaños y se puede viajar dentro de vecindarios relativamente pequeños. Este método novedoso también puede identificar cuellos de botella de tráfico repetitivos.^[44]​ Los exponentes críticos que caracterizan la distribución del tamaño de los conglomerados del tráfico en buenas condiciones son similares a los de la teoría de la percolación.^[45]​ También se encontró que durante las horas pico la red de tráfico puede tener varios estados metaestables de diferentes tamaños de red y alternar entre estos estados.^[46]​ Zhang et al.^[47]​ Se encontró una ley de potencia universal aproximada para la distribución del tamaño de los atascos en diferentes ciudades. Serok et al. desarrollaron un método para identificar grupos funcionales de calles espacio-temporales que representan un flujo de tráfico fluido en una ciudad.^[48]​

Véase también

• Teoría de la percolación continua
• Exponente crítico
• Percolación dirigida
• Modelo de Erdos-Rényi
• Fractal
• Componente gigante
• Teoría de grafos
• Redes interdependientes
• Percolación de invasión
• Análisis de redes
• Ciencia de redes
• Umbral de filtración
• Exponentes críticos de filtración
• Red libre de escala
• Problema del camino más corto

Referencias

1. Sahini, M.; Sahimi, M. (13 de julio de 2003). Applications Of Percolation Theory (en inglés). CRC Press. ISBN 978-0-203-22153-2. 
2. Broadbent, Simon; Hammersley, John (1957). «Percolation processes I. Crystals and mazes». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 53 (3): 629-641. Bibcode:1957PCPS...53..629B. ISSN 0305-0041. doi:10.1017/S0305004100032680. 
3. Bollobás, Béla; Riordan, Oliver (2006). «Sharp thresholds and percolation in the plane». Random Structures and Algorithms 29 (4): 524-548. ISSN 1042-9832. S2CID 7342807. arXiv:math/0412510. doi:10.1002/rsa.20134. 
4. MEJ Newman; RM Ziff (2000). «Efficient Monte Carlo algorithm and high-precision results for percolation». Physical Review Letters 85 (19): 4104-4107. Bibcode:2000PhRvL..85.4104N. PMID 11056635. S2CID 747665. arXiv:cond-mat/0005264. doi:10.1103/physrevlett.85.4104. 
5. Erdős, P.; Rényi, A. (1959). «On random graphs I.». Publ. Math. (6): 290-297. 
6. Erdős, P.; Rényi, A. (1960). «The evolution of random graphs». Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. (5): 17-61. 
7. Bolloba's, B. (1985). «Random Graphs». Academic. 
8. Hassan, M. K.; Rahman, M. M. (2015). «Percolation on a multifractal scale-free planar stochastic lattice and its universality class». Phys. Rev. E 92 (4): 040101. Bibcode:2015PhRvE..92d0101H. PMID 26565145. S2CID 119112286. arXiv:1504.06389. doi:10.1103/PhysRevE.92.040101. 
9. Hassan, M. K.; Rahman, M. M. (2016). «Universality class of site and bond percolation on multi-multifractal scale-free planar stochastic lattice». Phys. Rev. E 94 (4): 042109. Bibcode:2016PhRvE..94d2109H. PMID 27841467. S2CID 22593028. arXiv:1604.08699. doi:10.1103/PhysRevE.94.042109. 
10. Kesten, Harry (1982). Percolation Theory for Mathematicians. Birkhauser. ISBN 978-0-8176-3107-9. doi:10.1007/978-1-4899-2730-9. 
11. Grimmett, Geoffrey; Marstrand, John (1990). «The Supercritical Phase of Percolation is Well Behaved». Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 430 (1879): 439-457. Bibcode:1990RSPSA.430..439G. ISSN 1364-5021. S2CID 122534964. doi:10.1098/rspa.1990.0100. 
12. Stauffer, Dietrich; Aharony, Anthony (1994). Introduction to Percolation Theory (2nd edición). CRC Press. ISBN 978-0-7484-0253-3. 
13. Bunde, A.; Havlin, S. (1996). Fractals and Disordered Systems. Springer. 
14. Cohen, R.; Havlin, S. (2010). Complex Networks: Structure, Robustness and Function. Cambridge University Press. 
15. Grimmett, Geoffrey (1999). Percolation. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 321. Berlin: Springer. ISBN 978-3-642-08442-3. ISSN 0072-7830. doi:10.1007/978-3-662-03981-6. 
16. Hara, Takashi; Slade, Gordon (1990). «Mean-field critical behaviour for percolation in high dimensions». Communications in Mathematical Physics 128 (2): 333-391. Bibcode:1990CMaPh.128..333H. ISSN 0010-3616. S2CID 119875060. doi:10.1007/BF02108785. 
17. Smirnov, Stanislav (2001). «Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy's formula, scaling limits». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. I 333 (3): 239-244. Bibcode:2001CRASM.333..239S. ISSN 0764-4442. arXiv:0909.4499. doi:10.1016/S0764-4442(01)01991-7. «citeseerx:10.1.1.246.2739 ». 
18. Adler, Joan (1991), «Bootstrap percolation», Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 171 (3): 453-470, Bibcode:1991PhyA..171..453A, doi:10.1016/0378-4371(91)90295-n ..
19. Parshani, R.; Buldyrev, S. V.; Havlin, S. (2010). «Critical effect of dependency groups on the function of networks». Proceedings of the National Academy of Sciences 108 (3): 1007-1010. Bibcode:2011PNAS..108.1007P. ISSN 0027-8424. PMC 3024657. PMID 21191103. arXiv:1010.4498. doi:10.1073/pnas.1008404108. 
20. Shao, Jia; Havlin, Shlomo; Stanley, H. Eugene (2009). «Dynamic Opinion Model and Invasion Percolation». Physical Review Letters 103 (1): 018701. Bibcode:2009PhRvL.103a8701S. ISSN 0031-9007. PMID 19659181. doi:10.1103/PhysRevLett.103.018701. 
21. Berezin, Yehiel; Bashan, Amir; Danziger, Michael M.; Li, Daqing; Havlin, Shlomo (2015). «Localized attacks on spatially embedded networks with dependencies». Scientific Reports 5 (1): 8934. Bibcode:2015NatSR...5E8934B. ISSN 2045-2322. PMC 4355725. PMID 25757572. doi:10.1038/srep08934. 
22. Shao, S.; Huang, X.; Stanley, H.E.; Havlin, S. (2015). «Percolation of localized attack on complex networks». New J. Phys. 17 (2): 023049. Bibcode:2015NJPh...17b3049S. S2CID 7165448. arXiv:1412.3124. doi:10.1088/1367-2630/17/2/023049. 
23. Shai, S; Kenett, D.Y; Kenett, Y.N; Faust, M; Dobson, S; Havlin, S. (2015). «Critical tipping point distinguishing two types of transitions in modular network structures». Phys. Rev. E 92 (6): 062805. Bibcode:2015PhRvE..92f2805S. PMID 26764742. doi:10.1103/PhysRevE.92.062805. 
24. Dong, Gaogao; Fan, Jingfang; Shekhtman, Louis M; Shai, Saray; Du, Ruijin; Tian, Lixin; Chen, Xiaosong; Stanley, H Eugene et al. (2018). «Resilience of networks with community structure behaves as if under an external field». Proceedings of the National Academy of Sciences 115 (27): 6911-6915. Bibcode:2018PNAS..115.6911D. PMC 6142202. PMID 29925594. S2CID 49352915. arXiv:1805.01032. doi:10.1073/pnas.1801588115.  Se sugiere usar |número-autores= (ayuda)
25. B Gross, D Vaknin, SV Buldyrev, S Havlin (2020). «Two transitions in spatial modular networks». New Journal of Physics 22 (5): 053002. S2CID 210966323. arXiv:2001.11435. doi:10.1088/1367-2630/ab8263. 
26. Li, Daqing; Fu, Bowen; Wang, Yunpeng; Lu, Guangquan; Berezin, Yehiel; Stanley, H. Eugene; Havlin, Shlomo (2015). «Percolation transition in dynamical traffic network with evolving critical bottlenecks». Proceedings of the National Academy of Sciences 112 (3): 669-672. Bibcode:2015PNAS..112..669L. ISSN 0027-8424. PMC 4311803. PMID 25552558. doi:10.1073/pnas.1419185112. 
27. G Zeng, D Li, S Guo, L Gao, Z Gao, HE Stanley, S Havlin (2019). «Switch between critical percolation modes in city traffic dynamics». Proceedings of the National Academy of Sciences 116 (1): 23-28. PMC 6320510. PMID 30591562. doi:10.1073/pnas.1801545116. 
28. Majdandzic, Antonio; Podobnik, Boris; Buldyrev, Sergey V.; Kenett, Dror Y.; Havlin, Shlomo; Eugene Stanley, H. (2013). «Spontaneous recovery in dynamical networks». Nature Physics 10 (1): 34-38. Bibcode:2014NatPh..10...34M. ISSN 1745-2473. doi:10.1038/nphys2819. 
29. Danziger, Michael M.; Shekhtman, Louis M.; Berezin, Yehiel; Havlin, Shlomo (2016). «The effect of spatiality on multiplex networks». EPL (Europhysics Letters) (en inglés) 115 (3): 36002. Bibcode:2016EL....11536002D. ISSN 0295-5075. arXiv:1505.01688. doi:10.1209/0295-5075/115/36002. 
30. Ivan Bonamassa; Bnaya Gross; Michael M Danziger; Shlomo Havlin (2019). «Critical stretching of mean-field regimes in spatial networks». Phys. Rev. Lett. 123 (8): 088301. Bibcode:2019PhRvL.123h8301B. PMC 7219511. PMID 31491213. doi:10.1103/PhysRevLett.123.088301. 
31. Yuan, Xin; Hu, Yanqing; Stanley, H. Eugene; Havlin, Shlomo (28 de marzo de 2017). «Eradicating catastrophic collapse in interdependent networks via reinforced nodes». Proceedings of the National Academy of Sciences (en inglés) 114 (13): 3311-3315. Bibcode:2017PNAS..114.3311Y. ISSN 0027-8424. PMC 5380073. PMID 28289204. arXiv:1605.04217. doi:10.1073/pnas.1621369114. 
32. Brunk, Nicholas E.; Twarock, Reidun (2021). «Percolation Theory Reveals Biophysical Properties of Virus-like Particles». ACS Nano (American Chemical Society (ACS)) 15 (8): 12988-12995. ISSN 1936-0851. PMC 8397427. PMID 34296852. doi:10.1021/acsnano.1c01882. 
33. Brunk, N. E.; Lee, L. S.; Glazier, J. A.; Butske, W.; Zlotnick, A. (2018). «Molecular Jenga: the percolation phase transition (collapse) in virus capsids». Physical Biology 15 (5): 056005. Bibcode:2018PhBio..15e6005B. PMC 6004236. PMID 29714713. doi:10.1088/1478-3975/aac194. 
34. Lee, L. S.; Brunk, N.; Haywood, D. G.; Keifer, D.; Pierson, E.; Kondylis, P.; Zlotnick, A. (2017). «A molecular breadboard: Removal and replacement of subunits in a hepatitis B virus capsid». Protein Science 26 (11): 2170-2180. PMC 5654856. PMID 28795465. doi:10.1002/pro.3265. 
35. Boswell, G. P.; Britton, N. F.; Franks, N. R. (22 de octubre de 1998). «Habitat fragmentation, percolation theory and the conservation of a keystone species». Proceedings of the Royal Society of London B: Biological Sciences (en inglés) 265 (1409): 1921-1925. ISSN 0962-8452. PMC 1689475. doi:10.1098/rspb.1998.0521. 
36. Davis, S.; Trapman, P.; Leirs, H.; Begon, M.; Heesterbeek, J. a. P. (31 de julio de 2008). «The abundance threshold for plague as a critical percolation phenomenon». Nature 454 (7204): 634-637. Bibcode:2008Natur.454..634D. ISSN 1476-4687. PMID 18668107. S2CID 4425203. doi:10.1038/nature07053. «hdl:1874/29683 ». 
37. Buldyrev, S.V.; Parshani, R.; Paul, G.; Stanley, H.E.; Havlin, S. (2010). «Catastrophic cascade of failures in interdependent networks». Nature 464 (8932): 1025-8. Bibcode:2010Natur.464.1025B. PMID 20393559. S2CID 1836955. arXiv:0907.1182. doi:10.1038/nature08932. 
38. Gao, J.; Buldyrev, S.V.; Stanley, H.E.; Havlin, S. (2012). «Networks formed from interdependent networks». Nature Physics 8 (1): 40-48. Bibcode:2012NatPh...8...40G. doi:10.1038/nphys2180. 
39. Bashan, A.; Berezin, Y.; Buldyrev, S.V.; Havlin, S. (2013). «The extreme vulnerability of interdependent spatially embedded networks». Nature Physics 9 (10): 667. Bibcode:2013NatPh...9..667B. S2CID 12331944. arXiv:1206.2062. doi:10.1038/nphys2727. 
40. Berezin, Y.; Bashan, A.; Danziger, M.M.; Li, D.; Havlin, S. (2015). «Localized attacks on spatially embedded networks with dependencies». Scientific Reports 5: 8934. Bibcode:2015NatSR...5E8934B. PMC 4355725. PMID 25757572. doi:10.1038/srep08934. 
41. D Vaknin; MM Danziger; S Havlin (2017). «Spreading of localized attacks in spatial multiplex networks». New J. Phys. 19 (7): 073037. Bibcode:2017NJPh...19g3037V. S2CID 9121930. arXiv:1704.00267. doi:10.1088/1367-2630/aa7b09. 
42. Majdandzic, Antonio; Podobnik, Boris; Buldyrev, Sergey V.; Kenett, Dror Y.; Havlin, Shlomo; Eugene Stanley, H. (2013). «Spontaneous recovery in dynamical networks». Nature Physics 10 (1): 34-38. doi:10.1038/nphys2819. 
43. Majdandzic, Antonio; Braunstein, Lidia A.; Curme, Chester; Vodenska, Irena; Levy-Carciente, Sary; Eugene Stanley, H.; Havlin, Shlomo (2016). «Multiple tipping points and optimal repairing in interacting networks». Nature Communications 7: 10850. Bibcode:2016NatCo...710850M. PMC 4773515. PMID 26926803. arXiv:1502.00244. doi:10.1038/ncomms10850. 
44. D. Li; B. Fu; Y. Wang; G. Lu; Y. Berezin; H.E. Stanley; S. Havlin (2015). «Percolation transition in dynamical traffic network with evolving critical bottlenecks». Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 112 (3): 669-72. Bibcode:2015PNAS..112..669L. PMC 4311803. PMID 25552558. doi:10.1073/pnas.1419185112. 
45. G Zeng; D Li; S Guo; L Gao; Z Gao; HE Stanley; S Havlin (2019). Switch between critical percolation modes in city traffic dynamics 116 (1). pp. 23-28. 
46. G Zeng; J Gao; L Shekhtman; S Guo; W Lv; J Wu; H Liu; O Levy et al. (2020). «Multiple metastable network states in urban traffic». Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 117 (30): 17528-17534. PMC 7395445. PMID 32661171. doi:10.1073/pnas.1907493117.  Se sugiere usar |número-autores= (ayuda)
47. Limiao Zhang; Guanwen Zeng; Daqing Li; Hai-Jun Huang; H Eugene Stanley; Shlomo Havlin (2019). «Scale-free resilience of real traffic jams». Proceedings of the National Academy of Sciences 116 (18): 8673-8678. Bibcode:2019PNAS..116.8673Z. PMC 6500150. PMID 30979803. S2CID 111390178. arXiv:1804.11047. doi:10.1073/pnas.1814982116. 
48. Nimrod Serok; Orr Levy; Shlomo Havlin; Efrat Blumenfeld-Lieberthal (2019). «Unveiling the inter-relations between the urban streets network and its dynamic traffic flows: Planning implication». Environment and Planning B: Urban Analytics and City Science 46 (7): 1362-1376. S2CID 202355697. doi:10.1177/2399808319837982. 

Bibliografía

• Aizenman, Michael; Barsky, David (1987), «Sharpness of the phase transition in percolation models», Communications in Mathematical Physics 108 (3): 489-526, Bibcode:1987CMaPh.108..489A, S2CID 35592821, doi:10.1007/BF01212322 .
• Menshikov, Mikhail (1986), «Coincidence of critical points in percolation problems», Soviet Mathematics - Doklady 33: 856-859 .

Lecturas relacionadas

• Austin, David (July 2008). «Percolation: Slipping through the Cracks». American Mathematical Society. 
• Bollobás, Béla; Riordan, Oliver (2006). Percolation. Cambridge University Press. ISBN 978-0521872324. 
• Kesten, Harry (May 2006). «What Is ... Percolation?». Notices of the American Mathematical Society 53 (5): 572-573. ISSN 1088-9477. 

Enlaces externos

• PercoVIS: un programa Mac OS X para visualizar la percolación en las redes en tiempo real
• Percolación interactiva
• Curso en línea de Nanohub sobre Teoría de la percolación
• Introducción a la teoría de la percolación: curso corto de Shlomo Havlin

•   Datos: Q900918