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Sustitución en integración

En cálculo, integración por sustitución, también conocido como cambio de variable, es un método para evaluar integrales y antiderivadas.[1]​ Es la contraparte a la regla de cadena para diferenciación.

Sustitución para una variable

Introducción

Antes de enunciar el teorema de manera formal, considere un caso sencillo para integrales indefinidas.

Calcular  [2]

Sea  . Esto significa   o en forma diferencial  . Ahora

, 

donde   es una constante arbitraria de integración.

Este procedimiento es frecuentemente utilizado pero no todas las integrales permiten su uso. En cualquier caso en que sea aplicable, el resultado puede verificarse derivando y comparando con el integrando original.

 

Para integrales definidas, los límites de integración deben ajustarse a la nueva variable pero el procedimiento es prácticamente igual.

Integrales definidas

Sea   una función continuamente diferenciable donde   es un intervalo. Supóngase que   es una función continua entonces

 

La fórmula es usada para transformar una integral a una integral que es más fácil de calcular.

Demostración

La fórmula de integración por sustitución puede ser demostrada utilizando el teorema fundamental de cálculo como sigue.

Sean   y   funciones tales que   es continua en   y   tiene derivada   tal que es integrable en el intervalo cerrado   entonces la función   también es integrable en  . Por lo que las integrales

 

y

 

existen y queda demostrar que son iguales.

Dado que   es continua, tiene una antiderivada  . La función compuesta   está definida, como   es diferenciable, combinando la regla de cadena y la definición de antiderivada obtenemos

 

Aplicando el teorema fundamental del cálculo dos veces obtenemos

 

Ejemplos

Ejemplo 1

Considere la integral

 

Haga la sustitución   para obtener  , esto es   Por lo que

 

Dado que el límite inferior   fue reemplazado por   y el límite superior   con  , regresar a la variable original  , fue innecesario.

Antiderivadas

La sustitución puede ser usada para determinar antiderivadas. Uno escoge una relación entre   y  , determina la relación correspondiente entre   y   mediante diferenciación y realiza las sustituciones.

Similar al ejemplo 1 de arriba, la siguiente antiderivada puede ser obtenida utilizando este método:

 

donde   es una constante arbitraria de integración.

Para este ejemplo, no hubo límites de integración que modificar pero en el último paso regresar a la variable original   es necesario.

La función tangente puede ser integrada utilizando sustitución expresándola en términos del seno y coseno:

 

Utilizando la sustitución   obtenemos   y

 

Sustitución para múltiples variables

Uno también puede utilizar el método de sustitución cuando integra funciones de varias variables. Aquí la función de sustitución   necesita ser inyectiva y continuamente diferenciable, los diferenciales se transforman como

 

donde  denota el determinante de la matriz jacobiana de derivadas parciales de   en el punto  .

De manera más precisa, el fórmula del cambio de variables se enuncia en el siguiente teorema

Teorema. Sean   un subconjunto abierto en   y   una función diferenciable inyectiva con derivadas parciales continuas entonces para cualquier función continua real   con soporte contenido en  

 

Para funciones Lebesgue medibles, el teorema puede enunciarse de la siguiente forma:[3]

Teorema. Sean   un subconjunto medible en   y   una función inyectiva, suponga que para cada   existe   tal que   cuando   entonces   es medible y para cualquier función real   definida en  

 

Aplicación en probabilidad

La sustitución puede ser utilizada para responder a la siguiente pregunta en probabilidad: dada una variable aleatoria   con función de densidad   y otra variable aleatoria   tal que  , ¿cuál es función de densidad para  ?

Es muy fácil responder esta pregunta respondiendo primero: ¿cuál es la probabilidad de que   tome un valor en algún subconjunto particular  ? Denote esta probabilidad  , si   tiene función de densidad   entonces la respuesta es

 

pero esto realmente no es útil pues no sabemos quién es  ; que es lo que estamos intentando encontrar. Podemos progresar si consideramos el problema en la variable  .   toma un valor en   siempre que   toma un valor en  , por lo que

 

cambiando de variable   a   obtenemos

 

combinando esto con la primera ecuación tendremos

 

por lo que

 

En el caso en el que   y   dependan de varias variables no correlacionadas, es decir,   y  ,   puede ser hallada por sustitución en varias variables como se mencionó anteriormente, este resultado es

 

Véase también

Referencias

  1. Swokowski, 1983, p. 257
  2. Swokowsi, 1983, p. 258
  3. Fremlin, 2010, Theorem 263D
  • Briggs, William; Cochran, Lyle (2011), Calculus /Early Transcendentals (Single Variable edición), Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3 .
  • Ferzola, Anthony P. (1994), «Euler and differentials», The College Mathematics Journal 25 (2): 102-111, doi:10.2307/2687130 .
  • Fremlin, D.H. (2010), Measure Theory, Volume 2, Torres Fremlin, ISBN 978-0-9538129-7-4 ..
  • Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7 ..
  • Katz, V. (1982), «Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan», Mathematics Magazine 55 (1): 3-11, doi:10.2307/2689856 .
  • Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1 ..
  • Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (alternate edición), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7 .
  • Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6 ..

Enlaces externos

sustitución, integración, cálculo, integración, sustitución, también, conocido, como, cambio, variable, método, para, evaluar, integrales, antiderivadas, contraparte, regla, cadena, para, diferenciación, Índice, sustitución, para, variable, introducción, integ. En calculo integracion por sustitucion tambien conocido como cambio de variable es un metodo para evaluar integrales y antiderivadas 1 Es la contraparte a la regla de cadena para diferenciacion Indice 1 Sustitucion para una variable 1 1 Introduccion 1 2 Integrales definidas 1 3 Demostracion 1 4 Ejemplos 1 4 1 Ejemplo 1 1 5 Antiderivadas 2 Sustitucion para multiples variables 3 Aplicacion en probabilidad 4 Vease tambien 5 Referencias 6 Enlaces externosSustitucion para una variable EditarIntroduccion Editar Antes de enunciar el teorema de manera formal considere un caso sencillo para integrales indefinidas Calcular 2 x 3 1 7 x 2 d x displaystyle textstyle int 2x 3 1 7 x 2 dx 2 Sea u 2 x 3 1 displaystyle u 2x 3 1 Esto significa d u d x 6 x 2 displaystyle textstyle frac du dx 6x 2 o en forma diferencial d u 6 x 2 d x displaystyle du 6x 2 dx Ahora 2 x 3 1 7 x 2 d x 1 6 2 x 3 1 7 u 7 6 x 2 d x d u 1 6 u 7 d u 1 6 1 8 u 8 C 1 48 2 x 3 1 8 C displaystyle begin aligned int 2x 3 1 7 x 2 dx amp 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funcion continua entonces a b f f x f x d x f a f b f u d u displaystyle int a b f varphi x varphi x dx int varphi a varphi b f u du La formula es usada para transformar una integral a una integral que es mas facil de calcular Demostracion Editar La formula de integracion por sustitucion puede ser demostrada utilizando el teorema fundamental de calculo como sigue Sean f displaystyle f y f displaystyle varphi funciones tales que f displaystyle f es continua en I displaystyle I y f displaystyle varphi tiene derivada f displaystyle varphi tal que es integrable en el intervalo cerrado a b displaystyle a b entonces la funcion f f x f x displaystyle f left varphi x right varphi x tambien es integrable en a b displaystyle a b Por lo que las integrales a b f f x f x d x displaystyle int a b f varphi x varphi x dx y f a f b f u d u displaystyle int varphi a varphi b f u du existen y queda demostrar que son iguales Dado que f displaystyle f es continua tiene una antiderivada F displaystyle F La funcion compuesta F f displaystyle F circ varphi esta definida como f displaystyle varphi es diferenciable combinando la regla de cadena y la definicion de antiderivada obtenemos F f x F f x f x f f x f x displaystyle F circ varphi x F varphi x varphi x f varphi x varphi x Aplicando el teorema fundamental del calculo dos veces obtenemos a b f f x f x d x a b F f x d x F f b F f a F f b F f a f a f b f u d u displaystyle begin aligned int a b f varphi x varphi x dx amp int a b F circ varphi x dx amp F circ varphi b F circ varphi a amp F varphi b F varphi a amp int varphi a varphi b f u du end aligned Ejemplos Editar Ejemplo 1 Editar Considere la integral 0 2 x cos x 2 1 d x displaystyle int 0 2 x cos x 2 1 dx Haga la sustitucion u x 2 1 displaystyle u x 2 1 para obtener d u 2 x d x displaystyle du 2xdx esto es x d x 1 2 d u displaystyle textstyle xdx frac 1 2 du Por lo que x 0 x 2 x cos x 2 1 d x 1 2 u 1 u 5 cos u d u sen u 2 1 5 sen 5 sen 1 2 displaystyle begin aligned int x 0 x 2 x cos x 2 1 dx amp frac 1 2 int u 1 u 5 cos u du amp frac operatorname sen u 2 bigg 1 5 amp frac operatorname sen 5 operatorname sen 1 2 end aligned Dado que el limite inferior x 0 displaystyle x 0 fue reemplazado por u 1 displaystyle u 1 y el limite superior x 2 displaystyle x 2 con 2 2 1 5 displaystyle 2 2 1 5 regresar a la variable original x displaystyle x fue innecesario Antiderivadas Editar La sustitucion puede ser usada para determinar antiderivadas Uno escoge una relacion entre x displaystyle x y u displaystyle u determina la relacion correspondiente entre d x displaystyle dx y d u displaystyle du mediante diferenciacion y realiza las sustituciones Similar al ejemplo 1 de arriba la siguiente antiderivada puede ser obtenida utilizando este metodo x cos x 2 1 d x 1 2 2 x cos x 2 1 d x 1 2 cos u d u 1 2 sen u C 1 2 sen x 2 1 C displaystyle begin aligned int x cos x 2 1 dx amp frac 1 2 int 2x cos x 2 1 dx amp frac 1 2 int cos u du amp frac 1 2 operatorname sen u C amp frac 1 2 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funciones Lebesgue medibles el teorema puede enunciarse de la siguiente forma 3 Teorema Sean U displaystyle U un subconjunto medible en R n displaystyle mathbb R n y f U R n displaystyle varphi U to mathbb R n una funcion inyectiva suponga que para cada x U displaystyle x in U existe f x R n n displaystyle varphi x in mathbb R n n tal que f y f x f x y x o y x displaystyle varphi y varphi x varphi x y x o y x cuando y x displaystyle y to x entonces f U displaystyle varphi U es medible y para cualquier funcion real f displaystyle f definida en f U displaystyle varphi U f U f v d v U f f u det f u d u displaystyle int varphi U f v dv int U f varphi u left det varphi u right du Aplicacion en probabilidad EditarLa sustitucion puede ser utilizada para responder a la siguiente pregunta en probabilidad dada una variable aleatoria X displaystyle X con funcion de densidad p X displaystyle p X y otra variable aleatoria Y displaystyle Y tal que Y ϕ X displaystyle Y phi X cual es funcion de densidad para Y displaystyle Y Es muy facil responder esta pregunta respondiendo primero cual es la probabilidad de que Y displaystyle Y tome un valor en algun subconjunto particular S displaystyle S Denote esta probabilidad P Y S displaystyle P Y in S si Y displaystyle Y tiene funcion de densidad p Y displaystyle p Y entonces la respuesta es P Y S S p Y y d y displaystyle P Y in S int S p Y y dy pero esto realmente no es util pues no sabemos quien es p Y displaystyle p Y que es lo que estamos intentando encontrar Podemos progresar si consideramos el problema en la variable X displaystyle X Y displaystyle Y toma un valor en S displaystyle S siempre que X displaystyle X toma un valor en ϕ 1 S displaystyle phi 1 S por lo que P Y S ϕ 1 S p X x d x displaystyle P Y in S int phi 1 S p X x dx cambiando de variable x displaystyle x a y displaystyle y obtenemos P Y S ϕ 1 S p X x d x S p X ϕ 1 y d ϕ 1 d y d y displaystyle P Y in S int phi 1 S p X x dx int S p X phi 1 y left frac d phi 1 dy right dy combinando esto con la primera ecuacion tendremos S p Y y d y S p X ϕ 1 y d ϕ 1 d y d y displaystyle int S p Y y dy int S p X phi 1 y left frac d phi 1 dy right dy por lo que p Y y p X ϕ 1 y d ϕ 1 d y displaystyle p Y y p X phi 1 y left frac d phi 1 dy right En el caso en el que X displaystyle X y Y displaystyle Y dependan de varias variables no correlacionadas es decir p X p X x 1 x n displaystyle p X p X x 1 ldots x n y y ϕ x displaystyle y phi x p Y displaystyle p Y puede ser hallada por sustitucion en varias variables como se menciono anteriormente este resultado es p Y y p X ϕ 1 y det D ϕ 1 y displaystyle p Y y p X phi 1 y left det D phi 1 y right Vease tambien EditarFuncion de densidad de probabilidad Sustitucion de variables Sustitucion trigonometrica Sustitucion de Weierstrass Sustitucion de EulerReferencias Editar Swokowski 1983 p 257 Swokowsi 1983 p 258 Fremlin 2010 Theorem 263D Briggs William Cochran Lyle 2011 Calculus Early Transcendentals Single Variable edicion Addison Wesley ISBN 978 0 321 66414 3 Ferzola Anthony P 1994 Euler and differentials The College Mathematics Journal 25 2 102 111 doi 10 2307 2687130 Fremlin D H 2010 Measure Theory Volume 2 Torres Fremlin ISBN 978 0 9538129 7 4 Hewitt Edwin Stromberg Karl 1965 Real and Abstract Analysis Springer Verlag ISBN 978 0 387 04559 7 Katz V 1982 Change of variables in multiple integrals Euler to Cartan Mathematics Magazine 55 1 3 11 doi 10 2307 2689856 Rudin Walter 1987 Real and Complex Analysis McGraw Hill ISBN 978 0 07 054234 1 Swokowski Earl W 1983 Calculus with analytic geometry alternate edicion Prindle Weber amp Schmidt ISBN 0 87150 341 7 Spivak Michael 1965 Calculus on Manifolds Westview Press ISBN 978 0 8053 9021 6 Enlaces externos EditarIntegracion por sustitucion en Enciclopedia de Matematicas Formula de area en Enciclopedia de Matematicas Obtenido de https es wikipedia org w index php title Sustitucion en integracion amp oldid 139778005, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, 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