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Sistema algebraico computacional

Diciembre 10, 2021

Un sistema algebraico computacional o sistema de álgebra computacional (CAS, del inglés computer algebra system) es un programa de ordenador o calculadora avanzada que facilita el cálculo simbólico. La principal diferencia entre un CAS y una calculadora tradicional es la habilidad del primero para trabajar con ecuaciones y fórmulas simbólicamente, en lugar de numéricamente. Es decir, una expresión como a + b es interpretada siempre como "la suma de dos variables", y no como "la suma de dos números" (con valores asignados).

Un CAS permite automatizar manipulaciones tediosas o difíciles, como por ejemplo, desarrollar por el binomio de Newton la expresión .

Manipulación de expresiones

Suelen incluir los siguientes tipos de manipulaciones:

  • Con expresiones simbólicas:
    • Simplificación de una expresión a la forma más simple o a una forma estándar.
    • Cambio en la forma de las expresiones: expansión de productos y potencias, factorización, reescritura de un cociente de polinomios como suma de fracciones parciales, reescritura de funciones trigonométricas como exponenciales (y viceversa), etc.
    • Operaciones con matrices incluyendo productos de matrices, inversa de una matriz, etc.
    • Resolución de algunas ecuaciones.
    • Cálculo de algunos límites de funciones.
    • Cálculo de derivadas y derivadas parciales.
    • Cálculo de algunas integrales indefinidas, definidas y de algunas transformadas integrales.
    • Aproximación de funciones por desarrollo en series de potencias.
    • Resolución de algunas ecuaciones diferenciales.
  • Con expresiones numéricas:
    • Manipulación exacta de fracciones y radicales.
    • Realización de operaciones con precisión arbitraria.
  • Respecto a la presentación de resultados:
    • Visualizado de las expresiones matemáticas en una forma bidimensional, usando con frecuencia sistemas de composición similares a TeX.

En los párrafos precedentes, la palabra algunos indica que la operación no siempre puede ser realizada por el sistema. Un programa de esta clase puede encontrar limitaciones a la hora de resolver ciertas expresiones derivadas, integrales, antiderivadas, límites, cuando éstas tienen alguna ambigüedad o indefinición, o por las propias limitaciones del sistema.

Algunas versiones ofrecen al usuario la posibilidad de programar sus propios algoritmos matemáticos y solventar, en parte, tales limitaciones. El estudio de algoritmos aplicables a los sistemas algebraicos computarizados se denomina álgebra computacional.

Historia

Los sistemas de álgebra computacional aparecieron al principio de la década de los 70, y evolucionaron a partir de la investigación en inteligencia artificial, aunque hoy en día constituyen campos ampliamente separados. Los primeros trabajos fueron dirigidos por el Premio Nobel Martin Veltman, quien diseñó en 1963 un programa para matemática simbólica, llamado Schoonship, especializado en Física de Altas Energías. Los primeros sistemas populares fueron Reduce y Macsyma. Hoy en día, una versión copyleft de Macsyma llamada Maxima es mantenida activamente. Posteriormente, en los años 1980 adquirió popularidad Derive.

Los actuales líderes del mercado[cita requerida] son Maple y Mathematica; ambos son usados frecuentemente por ingenieros, investigadores matemáticos y otros científicos. Matlab es el otro sistema comercial líder, diseñado para ingenieros y científicos, destacando en el cálculo numérico aunque también permite cálculo simbólico. Algunos sistemas algebraicos computacionales se centran en un área específica de aplicación, estos últimos suelen ser sistemas libres desarrollados por universidades.

En 1987 Hewlett-Packard introdujo por primera vez un CAS en una calculadora con la HP-28. Posteriormente, en 1995, Texas Instruments sacó al mercado la calculadora TI-92 luego TI-voyage200, que incluían un CAS avanzado basado en el software Derive.

Sistemas destacados

Grandes CAS de propósito general

Dentro del grupo de los grandes CAS de propósito general destacamos:

  • Mathematica (de Wolfram) para Windows, MacOS X y Linux. Lanzado en 1988, permite realizar cálculos sofisticados. Las últimas versiones permiten ejecutar sin modificaciones programas escritos 25 años atrás.[1]​ Desde 2009 se puede acceder a parte de su funcionalidad desde el motor de búsqueda de respuestas Wolfram Alpha.
  • Maple (de Maplesoft), para Windows, MacOS X y Linux. Lanzado en 1989. Con una funcionalidad similar a la de Mathematica.
  • SageMath, proyecto de software libre desarrollado desde 2005. Disponible en Windows, Linux y MacOS X. Usando el lenguaje Python, reúne y compatibiliza bajo una única interfaz y entorno distintos sistemas algebraicos de software libre (Maxima, GAP, PARI/GP, Sympy, entre otros). Es usado habitualmente en el mundo del álgebra conmutativa, la teoría de números, la geometría algebraica, el análisis numérico, la estadística o el procesamiento de imágenes.
  • Matlab (de MathWorks), para Windows, MacOS y Linux, ampliamente difundido para todo tipo de cálculos técnicos. Nació en 1984 orientado al análisis numérico, la manipulación y la visualización de datos reales. Posteriormente incorporó cálculos simbólicos con la librería Symbolic MathToolbox. Esta librería ejecuta un subconjunto del software Maple integrado en Matlab.
  • Magma, multiplataforma, del Grupo de Álgebra Computacional de la Universidad de Sídney. Podemos situarlo en el límite entre los CAS de propósito general y los de uso específico, pues su uso se extiende a numerosos campos de las matemáticas puras (incluyendo álgebra, geometría y combinatoria) , pero no cubre funcionalidades de análisis como el cálculo de límites o de integrales.

Para medir su importancia en el mundo del software matemático, contabilizamos el número de citas posteriores al año 2000 de la base de datos swMATH. Resumimos la funcionalidad de los CAS de carácter general más citados.

Sistema N.º de citas en swMATH Editor de fórmulas Precisión arbitraria Cálculo Resolución de ... Teoría de grafos Teoría de números Álgebra de Boole Tensores Probabilidad Teoría de control Teoría de códigos Teoría de grupos Sistema
Integrales Transformada integral Ecuaciones inecuaciones Ecuaciones diofánticas Ecuaciones diferenciales Relaciones de recurrencia
MATLAB >5300   No   Sí   Sí   Sí   Sí   No   No   Sí   No   No   No   No   No   No   No   No   No MATLAB
Mathematica >2700   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   No   Sí Mathematica
Maple >2700   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   No   Sí Maple
Magma >1300   No   Sí   No   No   Sí   No   Sí   No   No   Sí   Sí   No   No   Sí   Sí Magma
SageMath >580   No   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   No   Sí   Sí SageMath

CAS de propósito general de tamaño medio

Pueden usarse de forma independiente (incluso en teléfonos inteligentes, como Maxima o Giac), incorporados en otros programas (como es el caso de Giac en GeoGebra, o de Maxima o Sympy en SageMath) o embebidos en dispositivos (como Giac en la calculadora HP Prime). Su funcionalidad suele cubrir las necesidades de un usuario medio. Entre estos sistemas destacamos:

Sistema Editor de fórmulas Precisión arbitraria Cálculo Resolución de Teoría de grafos Teoría de números Álgebra de Boole Tensores Probabilidad Teoría de control Teoría de códigos Teoría de grupos Sistema
Integrales Transformadas integrales Ecuaciones Inecuaciones Ecuaciones diofánticas Ecuaciones diferenciales Relaciones de recurrencia
Maxima   No   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   No   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   No   Sí Maxima
SymPy   No   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   Sí   No   Sí   Sí   Sí   Sí   No   No   Sí SymPy
Xcas/Giac   Sí   Sí   Sí   No   Sí   Sí   No   Sí   Sí   No   Sí   No   No   Sí   No Xcas/Giac
Yacas   No   Sí   Sí   No   Sí   No   No   No   No   No   No   No   No   No   No Yacas

Bibliografía

  • Richard J. Fateman. "Essays in algebraic simplification". Technical report MIT-LCS-TR-095, 1972. (Of historical interest in showing the direction of research in computer algebra. At the MIT LCS web site: )

Véase también

Bibliografía

  1. Baumann, Gerd (2010). Mathematics for Engineers II: Calculus and Linear Algebra, Volumen 2. Oldenbourg Verlag,. p. 2. ISBN 9783486590401. 

Enlaces externos

Páginas en Internet sobre CAS (inglés)

  • Xcas
  • Algebrator
  • Axiom
  • CoCoA
  • DCAS
  • Derive (North America)
  • Derive (Europe)
  • GAP
  • GiNaC
  • Magma
  • Maple
  • Mathcad
  • Mathematica
  • Mathomatic
  • Maxima
  • Mupad
  • REDUCE
  • SageMath
  •   Datos: Q830340

Diciembre 10, 2021
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Un sistema algebraico computacional o sistema de algebra computacional CAS del ingles computer algebra system es un programa de ordenador o calculadora avanzada que facilita el calculo simbolico La principal diferencia entre un CAS y una calculadora tradicional es la habilidad del primero para trabajar con ecuaciones y formulas simbolicamente en lugar de numericamente Es decir una expresion como a b es interpretada siempre como la suma de dos variables y no como la suma de dos numeros con valores asignados Un CAS permite automatizar manipulaciones tediosas o dificiles como por ejemplo desarrollar por el binomio de Newton la expresion x 10 500 displaystyle x 10 500 Indice 1 Manipulacion de expresiones 2 Historia 3 Sistemas destacados 3 1 Grandes CAS de proposito general 3 2 CAS de proposito general de tamano medio 4 Bibliografia 5 Vease tambien 6 Bibliografia 7 Enlaces externos 7 1 Paginas en Internet sobre CAS ingles Manipulacion de expresiones EditarSuelen incluir los siguientes tipos de manipulaciones Con expresiones simbolicas Simplificacion de una expresion a la forma mas simple o a una forma estandar Cambio en la forma de las expresiones expansion de productos y potencias factorizacion reescritura de un cociente de polinomios como suma de fracciones parciales reescritura de funciones trigonometricas como exponenciales y viceversa etc Operaciones con matrices incluyendo productos de matrices inversa de una matriz etc Resolucion de algunas ecuaciones Calculo de algunos limites de funciones Calculo de derivadas y derivadas parciales Calculo de algunas integrales indefinidas definidas y de algunas transformadas integrales Aproximacion de funciones por desarrollo en series de potencias Resolucion de algunas ecuaciones diferenciales Con expresiones numericas Manipulacion exacta de fracciones y radicales Realizacion de operaciones con precision arbitraria Respecto a la presentacion de resultados Visualizado de las expresiones matematicas en una forma bidimensional usando con frecuencia sistemas de composicion similares a TeX En los parrafos precedentes la palabra algunos indica que la operacion no siempre puede ser realizada por el sistema Un programa de esta clase puede encontrar limitaciones a la hora de resolver ciertas expresiones derivadas integrales antiderivadas limites cuando estas tienen alguna ambiguedad o indefinicion o por las propias limitaciones del sistema Algunas versiones ofrecen al usuario la posibilidad de programar sus propios algoritmos matematicos y solventar en parte tales limitaciones El estudio de algoritmos aplicables a los sistemas algebraicos computarizados se denomina algebra computacional Historia EditarLos sistemas de algebra computacional aparecieron al principio de la decada de los 70 y evolucionaron a partir de la investigacion en inteligencia artificial aunque hoy en dia constituyen campos ampliamente separados Los primeros trabajos fueron dirigidos por el Premio Nobel Martin Veltman quien diseno en 1963 un programa para matematica simbolica llamado Schoonship especializado en Fisica de Altas Energias Los primeros sistemas populares fueron Reduce y Macsyma Hoy en dia una version copyleft de Macsyma llamada Maxima es mantenida activamente Posteriormente en los anos 1980 adquirio popularidad Derive Los actuales lideres del mercado cita requerida son Maple y Mathematica ambos son usados frecuentemente por ingenieros investigadores matematicos y otros cientificos Matlab es el otro sistema comercial lider disenado para ingenieros y cientificos destacando en el calculo numerico aunque tambien permite calculo simbolico Algunos sistemas algebraicos computacionales se centran en un area especifica de aplicacion estos ultimos suelen ser sistemas libres desarrollados por universidades En 1987 Hewlett Packard introdujo por primera vez un CAS en una calculadora con la HP 28 Posteriormente en 1995 Texas Instruments saco al mercado la calculadora TI 92 luego TI voyage200 que incluian un CAS avanzado basado en el software Derive Sistemas destacados EditarGrandes CAS de proposito general Editar Dentro del grupo de los grandes CAS de proposito general destacamos Mathematica de Wolfram para Windows MacOS X y Linux Lanzado en 1988 permite realizar calculos sofisticados Las ultimas versiones permiten ejecutar sin modificaciones programas escritos 25 anos atras 1 Desde 2009 se puede acceder a parte de su funcionalidad desde el motor de busqueda de respuestas Wolfram Alpha Maple de Maplesoft para Windows MacOS X y Linux Lanzado en 1989 Con una funcionalidad similar a la de Mathematica SageMath proyecto de software libre desarrollado desde 2005 Disponible en Windows Linux y MacOS X Usando el lenguaje Python reune y compatibiliza bajo una unica interfaz y entorno distintos sistemas algebraicos de software libre Maxima GAP PARI GP Sympy entre otros Es usado habitualmente en el mundo del algebra conmutativa la teoria de numeros la geometria algebraica el analisis numerico la estadistica o el procesamiento de imagenes Matlab de MathWorks para Windows MacOS y Linux ampliamente difundido para todo tipo de calculos tecnicos Nacio en 1984 orientado al analisis numerico la manipulacion y la visualizacion de datos reales Posteriormente incorporo calculos simbolicos con la libreria Symbolic MathToolbox Esta libreria ejecuta un subconjunto del software Maple integrado en Matlab Magma multiplataforma del Grupo de Algebra Computacional de la Universidad de Sidney Podemos situarlo en el limite entre los CAS de proposito general y los de uso especifico pues su uso se extiende a numerosos campos de las matematicas puras incluyendo algebra geometria y combinatoria pero no cubre funcionalidades de analisis como el calculo de limites o de integrales Para medir su importancia en el mundo del software matematico contabilizamos el numero de citas posteriores al ano 2000 de la base de datos swMATH Resumimos la funcionalidad de los CAS de caracter general mas citados Sistema N º de citas en swMATH Editor de formulas Precision arbitraria Calculo Resolucion de Teoria de grafos Teoria de numeros Algebra de Boole Tensores Probabilidad Teoria de control Teoria de codigos Teoria de grupos SistemaIntegrales Transformada integral Ecuaciones inecuaciones Ecuaciones diofanticas Ecuaciones diferenciales Relaciones de recurrenciaMATLAB gt 5300 No Si Si Si Si No No Si No No No No No No No No No MATLABMathematica gt 2700 Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si No Si MathematicaMaple gt 2700 Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si No Si MapleMagma gt 1300 No Si No No Si No Si No No Si Si No No Si Si MagmaSageMath gt 580 No Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si No Si Si SageMathCAS de proposito general de tamano medio Editar Pueden usarse de forma independiente incluso en telefonos inteligentes como Maxima o Giac incorporados en otros programas como es el caso de Giac en GeoGebra o de Maxima o Sympy en SageMath o embebidos en dispositivos como Giac en la calculadora HP Prime Su funcionalidad suele cubrir las necesidades de un usuario medio Entre estos sistemas destacamos Sistema Editor de formulas Precision arbitraria Calculo Resolucion de Teoria de grafos Teoria de numeros Algebra de Boole Tensores Probabilidad Teoria de control Teoria de codigos Teoria de grupos SistemaIntegrales Transformadas integrales Ecuaciones Inecuaciones Ecuaciones diofanticas Ecuaciones diferenciales Relaciones de recurrenciaMaxima No Si Si Si Si Si No Si Si Si Si Si Si Si Si No Si MaximaSymPy No Si Si Si Si Si Si Si Si No Si Si Si Si No No Si SymPyXcas Giac Si Si Si No Si Si No Si Si No Si No No Si No Xcas GiacYacas No Si Si No Si No No No No No No No No No No YacasBibliografia EditarRichard J Fateman Essays in algebraic simplification Technical report MIT LCS TR 095 1972 Of historical interest in showing the direction of research in computer algebra At the MIT LCS web site 1 Vease tambien EditarLista de programas de algebra computacionalAlgebra computacional Geometria 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