σ-álgebra

En matemática, una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra (léase "sigma-álgebra") sobre un conjunto ${\displaystyle X}$ es una familia ${\displaystyle \Sigma }$ no vacía de subconjuntos de ${\displaystyle X}$, cerrada bajo complementos, uniones e intersecciones contables. Las σ-álgebras se usan principalmente para definir medidas en ${\displaystyle X}$. El concepto es muy importante en análisis matemático y en teoría de la probabilidad.

Definición

(σ-álgebra) Una familia de subconjuntos de X, representada por Σ, es una σ-álgebra sobre X cuando se cumplen las siguientes propiedades: El conjunto vacío está en Σ: ${\displaystyle \varnothing \in \Sigma }$ . Si E está en Σ, también está su complementario ${\displaystyle E^{c}=X\setminus E}$ . Si E1, E2, E3, ... es una sucesión de elementos de Σ, entonces la unión (numerable) de todos ellos también está en Σ.

Una σ-álgebra debe contener también al conjunto total X, ya que la segunda propiedad aplicada a ${\displaystyle E=\varnothing }$  tiene como consecuencia que ${\displaystyle X\setminus E=X\setminus \varnothing =X}$  pertenece a la σ-álgebra.

La aplicación de las leyes de De Morgan

${\displaystyle {\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}=\bigcup _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\qquad {\overline {\bigcup _{i\in I}A_{i}}}=\bigcap _{i\in I}{\overline {A_{i}}}}$ 

establecen que las intersecciones contables de sucesiones de conjuntos en la σ-álgebra también pertenecen a la σ-álgebra.

Los elementos de una σ-álgebra Σ se denominan conjuntos Σ-medibles (o simplemente conjuntos medibles, cuando no hay ambigüedad sobre ${\displaystyle \Sigma }$ ). Un par ordenado (X, Σ), donde X es un conjunto y Σ una σ-álgebra sobre este, se denomina espacio medible. Una función entre dos espacios medibles se denomina medible si la preimagen de todo conjunto medible es también medible; esto es, si (X, Σ) y (Y, Ω) son dos espacios medibles, una función f:X→Y es medible si para todo E ${\displaystyle \in \Omega }$ , f⁻¹(E) ${\displaystyle \in \Sigma }$ .

Una medida es una cierta clase de función medible de una σ-álgebra en el intervalo [0,∞].

Ejemplos:

• Si P(X) es el conjunto potencia del conjunto X entonces P(X) es una σ-álgebra sobre X (la mayor σ-álgebra posible sobre X).
• Para cualquier conjunto X, el conjunto ${\displaystyle \{\varnothing ,X\}}$  es una σ-álgebra sobre X (la menor σ-álgebra posible sobre X).
• Si A es una colección de subconjuntos de X, la intersección de todas las σ-álgebras que contienen a A es también una σ-álgebra, denotada por ${\displaystyle \langle A\rangle }$  o por ${\displaystyle \sigma (A)}$  y denominada σ-álgebra generada por A. Esta es por construcción la menor σ-álgebra posible que contiene a la colección A.
• La familia de subconjuntos de X que son contables o de conjunto complementario contable (esta familia es distinta del conjunto potencia de X si y sólo si X es incontable). Esta es la σ-álgebra generada por los conjuntos unitarios de X.
• Si ${\displaystyle (X,\tau )}$  es un espacio topológico, a ${\displaystyle \sigma (\tau )}$  se le denomina σ-álgebra de Borel, la cual se suele denotar como ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$ , y a sus elementos se les llama borelianos.
• Cuando ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ , la σ-álgebra generada por la colección de todos los intervalos abiertos finitos se denomina álgebra de Borel (sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ).
• El ejemplo anterior se puede generalizar a espacios topológicos arbitrarios: la σ-álgebra generada por todos los conjuntos abiertos de un espacio topológico X es el álgebra de Borel asociada al espacio X.
• En el espacio euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , cabe destacar otra σ-álgebra: la formada por los conjuntos Lebesgue-medibles. Esta contiene más conjuntos que el álgebra de Borel en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , y es la que se prefiere en teoría de integración.

Conjuntos y funciones medibles

Artículo principal: Función medible

• Dado un espacio de medida ${\displaystyle {\mathcal {M}}=(A,\Sigma ,\mu )}$  se dice que un conjunto ${\displaystyle B\subset A}$  es medible [propiamente ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}}$ -medible] si ${\displaystyle B\in \Sigma }$ .
• Una función ${\displaystyle f:{\mathcal {M}}_{1}\to {\mathcal {M}}_{2}}$  entre dos espacios medibles se dice medible, si la preimagen de cualquier conjunto ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}_{2}}$ -medible es ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}_{1}}$ -medible, es decir:

${\displaystyle f\ {\text{medible}}\Leftrightarrow \forall B\in {\mathcal {M}}_{2}\rightarrow f^{-1}(B)\in {\mathcal {M}}_{1}}$ 

Véase también

• Álgebra de conjuntos
• Anillo de conjuntos

Bibliografía

• Robert G. Bartle (1995) [1966]. The Elements of Integration and Measure Theory. Wiley. ISBN 0471042226. 
• Medida e integración , Mauro Chumpitaz (1989) UNI- Lima.
• Teoría de la medida, Mauro Chumpitaz (1991) UNI- Lima.

•   Datos: Q217357