Símbolo de Kronecker

Este artículo trata sobre el símbolo en teoría de números. Para otros usos de este término, véase delta de Kronecker.

En teoría de números, el símbolo de Kronecker, escrito como ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$ o (a|n), es una generalización del símbolo de Jacobi para todos los números enteros n. Fue introducido en 1885 por Leopold Kronecker.^[1]​

Definición

Sea n un número entero distinto de cero, con una factorización en números primos

${\displaystyle n=u{p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},}$ 

donde u es una unidad (i.e., u es 1 o −1), y los p_i son números primos. Sea a un entero. El símbolo de Kronecker (a|n) se define como:

${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.}$ 

Para números impares p_i, el (a|p_i) se reduce simplemente al símbolo de Legendre. Queda el caso en el que p_i = 2. Se define (a|2) por

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{si }}a{\mbox{ es par,}}\\1&{\mbox{si }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{si }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}$ 

Puesto que extiende el símbolo de Jacobi, la cantidad (a|u) es simplemente 1 cuando u = 1. Cuando u = −1, se define éste por

${\displaystyle \left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&{\mbox{si }}a<0,\\1&{\mbox{si }}a\geq 0.\end{cases}}}$ 

Finalmente, tenemos que

${\displaystyle \left({\frac {a}{0}}\right)={\begin{cases}1&{\text{si }}a=\pm 1,\\0&{\text{de otra manera.}}\end{cases}}}$ 

Estas extensiones son suficientes para definir el símbolo de Kronecker para todos los valores enteros n.

Véase también

• Símbolo de Legendre
• Símbolo de Jacobi

Referencias

1. Kronecker, L. (1885), Zur Theorie der elliptischen Funktionen, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 761–784, pag. 770.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Kronecker symbol». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Kronecker symbol en PlanetMath.

•   Datos: Q1789847