Símbolo de Jacobi

En la teoría de los números, el símbolo de Jacobi, denotado como ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {m}{n}}\right)}$, es una función aritmética que toma dos argumentos y devuelve un valor entero comprendido en el intervalo ${\displaystyle [-1,1]}$. En esencia se puede considerar como una generalización del símbolo de Legendre para valores impares de ${\displaystyle n}$ que no necesariamente han de ser primos. Debe su nombre al matemático Carl Gustav Jakob Jacobi que lo introdujo en 1837.^[1]​

n \ m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	1
3	0	1	-1
5	0	1	-1	-1	1
7	0	1	1	-1	1	-1	-1
9	0	1	1	0	1	1	0	1	1
11	0	1	-1	1	1	1	-1	-1	-1	1	-1
13	0	1	-1	1	1	-1	-1	-1	-1	1	1	-1	1
15	0	1	1	0	1	0	0	-1	1	0	0	-1	0	-1	-1
17	0	1	1	-1	1	-1	-1	-1	1	1	-1	-1	-1	1	-1	1	1

El símbolo Jacobi (m/n) para varios m (parte superior) y n (lado izquierdo). Solo se muestran 0 ≤ m < n, ya que debido a la regla (2) por debajo de cualquier otra m puede ser reducida a módulo n. Los residuos cuadráticos se resaltan en amarillo —nótese que ninguna entrada con un símbolo de Jacobi de -1 es un residuo cuadrático, y si m es un residuo cuadrático (mod n) y gcd (m,n)=1, entonces (m|n)=1, pero algunas entradas con un símbolo de Jacobi de 1 (véase la fila n = 9) no son residuos cuadráticos. Nótese también que cuando tanto n o m son un cuadrado, todos los valores son 0 o 1.

Definición

Sea m un número entero y n un número natural impar, cuya descomposición en factores primos es

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}}$ ,

se denomina símbolo de Jacobi a la expresión:

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {m}{p_{i}}}\right)^{a_{i}}}$ 

donde para todo i, p_i es primo y a_i es un número natural, denotando mediante ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {m}{p_{i}}}\right)}$  el símbolo de Legendre. Obviamente, cuando n es un número primo impar, el correspondiente símbolo de Jacobi se reduce al de Legendre.

Propiedades

El símbolo de Jacobi satisface las mismas reglas que aquel al que generaliza, además de algunas adicionales:

i) Si ${\displaystyle n|m}$  entonces ${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=0}$ .

ii) Un caso especial de esto último es que ${\displaystyle \left({\frac {m}{m}}\right)=0}$ .

iii) Si ${\displaystyle m}$  y ${\displaystyle n}$  son números impares primos relativos entre sí, y ${\displaystyle n\geq 3}$  se cumple la siguiente relación:

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}}$ 

iv)

Si ${\displaystyle h\equiv k{\pmod {P}},}$ , entonces ${\displaystyle \left({\frac {h}{P}}\right)=\left({\frac {k}{P}}\right)}$ 

^[2]​

v) Para P entero positivo impar se cumple: ${\displaystyle \left({\frac {a}{P}}\right)\left({\frac {b}{P}}\right)=\left({\frac {ab}{P}}\right)}$  ^[3]​

Véase también

• Símbolo de Legendre
• Símbolo de Kronecker

Referencias

1. C.G.J. Jacobi "Uber die Kreisteilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie", Bericht Ak. Wiss. Berlin (1837) pp 127-136.
2. Ózhigova ¿Qués es la teoría de números?
3. Burton B. Jones Teoría de los números Editorial F. Trillas S. A. Ciudad de México (1969)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Jacobi Symbol». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q241015