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Remuestreo

Noviembre 26, 2021

En el ámbito de la estadística, se denomina remuestreo (resampling, en inglés) a una variedad de métodos que permiten realizar algunas de las siguientes operaciones:

  1. Estimar la precisión de muestras estadísticas (medianas, variancias, percentiles) mediante el uso de subconjuntos de datos disponibles (jackknifing) o tomando datos en forma aleatoria de un conjunto de datos bootstrapping)
  2. Intercambiar marcadores de puntos de datos al realizar tests de significancia (test de permutación, también denominados tests exactos, tests de aleatoriedad, o pruebas de re-aleatoriedad)
  3. Validar modelos para el uso de subconjuntos aleatorios (bootstrapping, validación cruzada)

Entre las técnicas comunes de remuestreo se encuentran bootstrapping, jackknifing y pruebas de permutación.

Bootstrap

Artículo principal: Bootstrapping (estadística)
 
El mejor ejemplo del principio de plug-in, el método bootstrapping.

Bootstrapping es un método estadístico para estimar la distribución muestral de un estimador mediante el muestreo con reemplazo de la muestra original, la mayoría de las veces con el propósito de obtener estimaciones robustas de errores estándar e intervalos de confianza de un parámetro de la población como una media, mediana, proporción, razón de momios, coeficiente de correlación o coeficiente de regresión.[1]​ Se le ha llamado principio plug-in,[2]​ ya que es el método de estimación de los funcionales de una distribución de población mediante la evaluación de los mismos funcionales en la distribución empírica basada en una muestra. Se le llama un principio porque es demasiado simple para ser otra cosa, es solo una guía, no un teorema.

Por ejemplo,[2]​ al estimar la media de la población, este método utiliza la media de la muestra; para estimar la mediana de la población, utiliza la mediana de la muestra; para estimar la regresión lineal de la población, utiliza la regresión lineal de la muestra.

También se puede utilizar para construir pruebas de hipótesis. A menudo se usa como una alternativa robusta a la inferencia basada en suposiciones paramétricas cuando esas suposiciones están en duda, o cuando la inferencia paramétrica es imposible o requiere fórmulas muy complicadas para el cálculo de errores estándar. Las técnicas de bootstrapping también se utilizan en las transiciones de selección de actualización de filtros de partículas, algoritmos genéticos y métodos Monte Carlo de remuestreo/reconfiguración relacionados utilizados en física computacional.[3]​[4]​ En este contexto, el bootstrap se utiliza para reemplazar medidas de probabilidad ponderada secuencialmente empíricas por medidas empíricas. El bootstrap permite reemplazar las muestras con factores de ponderación bajos por copias de las muestras con factores de ponderación altos.

Jackknifing

Jackknifing, es similar a bootstrapping, y se usa en inferencia estadística para estimar el sesgo y el error estándar (varianza) de una estadística, cuando se usa una muestra aleatoria de observaciones para calcularlo.[1]​

Quenouille inventó este método con la intención de reducir el sesgo de la estimación de la muestra. Tukey amplió este método al suponer que si las réplicas pudieran considerarse distribuidas de manera idéntica e independiente, entonces podría hacerse una estimación de la varianza del parámetro de muestra y que se distribuiría aproximadamente como una variable t con n -1 grados de libertad (donde n es el tamaño de la muestra).[1]​

La idea básica del estimador de varianza jackknife radica en volver a calcular sistemáticamente la estimación estadística, omitiendo una o más observaciones a la vez del conjunto de muestras. A partir de este nuevo conjunto de réplicas de la estadística, se puede calcular una estimación del sesgo y una estimación de la varianza de la estadística.

En lugar de usar jackknife para estimar la varianza, se puede aplicar en cambio al logaritmo de la varianza. Esta transformación puede resultar en mejores estimaciones, particularmente cuando la distribución de la varianza puede no ser normal.

Para muchos parámetros estadísticos, la estimación de varianza jackknife tiende asintóticamente al valor verdadero casi con seguridad. Desde un punto de vista técnico, se dice que la estimación jackknife es consistente. El jackknife es consistente para las medias muestrales, las varianzas muestrales, las estadísticas t centradas y no centradas (con poblaciones posiblemente no normales), el coeficiente de variación de la muestra, los estimadores de máxima verosimilitud, los estimadores de cuadrados mínimos , los coeficientes de correlación y los coeficientes de regresión.

Submuestreo

El submuestreo es un método alternativo para aproximar la distribución muestral de un estimador.[5]​ Las dos diferencias claves con el bootstrap son: (i) el tamaño de la submuestra es más pequeño que el tamaño de la muestra y (ii) el muestreo se realiza sin reemplazo. La ventaja del submuestreo es que es válido en condiciones mucho más débiles en comparación con el bootstrap. En particular, un conjunto de condiciones suficientes es que se conoce la tasa de convergencia del estimador y que la distribución limitante es continua; además, el tamaño de la nueva muestra (o submuestra) debe tender a infinito junto con el tamaño de la muestra, pero a una tasa menor, de modo que su relación converja a cero. Si bien el submuestreo se propuso originalmente solo para el caso de datos independientes e idénticamente distribuidos (iid), la metodología se ha ampliado para abarcar también datos de series temporales; en este caso, se vuelven a muestrear bloques de datos posteriores en lugar de puntos de datos individuales. Hay muchos casos de interés aplicado en los que el submuestreo conduce a una inferencia válida, mientras que el bootstrapping no lo hace; por ejemplo, casos en los que la tasa de convergencia del estimador no es la raíz cuadrada del tamaño de la muestra o cuando la distribución limitante no es normal.

Referencias

  1. ↑ Bradley Efron (1982). The jackknife, the bootstrap, and other resampling plans, In Society of Industrial and Applied Mathematics CBMS-NSF Monographs, 38.
  2. ↑ Logan, J. David and Wolesensky, Willian R. Mathematical methods in biology. Pure and Applied Mathematics: a Wiley-interscience Series of Texts, Monographs, and Tracts. John Wiley& Sons, Inc. 2009. Chapter 6: Statistical inference. Section 6.6: Bootstrap methods
  3. Del Moral, Pierre (2004). Feynman-Kac formulae. Genealogical and interacting particle approximations. Springer. p. 575. «Series: Probability and Applications». 
  4. Del Moral, Pierre (2013). Mean field simulation for Monte Carlo integration. Chapman & Hall/CRC Press. p. 626. «Monographs on Statistics & Applied Probability». 
  5. Good, P. (2005) Introduction to Statistics Through Resampling Methods and R/S-PLUS. Wiley. ISBN 0-471-71575-1

Bibliografía

Introducción a la estadística

  • Good, P. (2005) Introduction to Statistics Through Resampling Methods and R/S-PLUS. Wiley. ISBN 0-471-71575-1
  • Good, P. (2005) Introduction to Statistics Through Resampling Methods and Microsoft Office Excel. Wiley. ISBN 0-471-73191-9
  • Hesterberg, T. C., D. S. Moore, S. Monaghan, A. Clipson, and R. Epstein (2005). Bootstrap Methods and Permutation Tests.
  • Wolter, K.M. (2007). Introduction to Variance Estimation. Second Edition. Springer, Inc.

Técnica de bootstrap

  • Bradley Efron (1979). "Bootstrap methods: Another look at the jackknife", The Annals of Statistics, 7, 1-26.
  • Bradley Efron (1981). "Nonparametric estimates of standard error: The jackknife, the bootstrap and other methods", Biometrika, 68, 589-599.
  • Bradley Efron (1982). The jackknife, the bootstrap, and other resampling plans, In Society of Industrial and Applied Mathematics CBMS-NSF Monographs, 38.
  • Persi Diaconis, Bradley Efron (1983), "Computer-intensive methods in statistics," Scientific American, May, 116-130.
  • Bradley Efron, Robert J. Tibshirani, (1993). An introduction to the bootstrap, New York: Chapman & Hall, software.
  • Davison, A. C. and Hinkley, D. V. (1997): Bootstrap Methods and their Application, software.
  • Mooney, C Z & Duval, R D (1993). Bootstrapping. A Nonparametric Approach to Statistical Inference. Sage University Paper series on Quantitative Applications in the Social Sciences, 07-095. Newbury Park, CA: Sage.
  • Simon, J. L. (1997): .


Técnica de Jackknife

  • Berger, Y.G. (2007). A jackknife variance estimator for unistage stratified samples with unequal probabilities. Biometrika. Vol. 94, 4, pp. 953-964.
  • Berger, Y.G. and Rao, J.N.K. (2006). Adjusted jackknife for imputation under unequal probability sampling without replacement. Journal of the Royal Statistical Society B. Vol. 68, 3, pp. 531-547.
  • Berger, Y.G. and Skinner, C.J. (2005). A jackknife variance estimator for unequal probability sampling. Journal of the Royal Statistical Society B. Vol. 67, 1, pp. 79-89.
  • Jiang, J., Lahiri, P. and Wan, S-M. (2002). A unified jackknife theory for empirical best prediction with M-estimation. The Annals of Statistics. Vol. 30, 6, pp. 1782-810.
  • Jones, H.L. (1974). Jackknife estimation of functions of stratum means. Biometrika. Vol. 61, 2, pp. 343-348.
  • Kish, L. and Frankel M.R. (1974). Inference from complex samples. Journal of the Royal Statistical Society B. Vol. 36, 1, pp. 1-37.
  • Krewski, D. and Rao, J.N.K. (1981). Inference from stratified samples: properties of the linearization, jackknife and balanced repeated replication methods. The Annals of Statistics. Vol. 9, 5, pp. 1010-1019.
  • Quenouille, M.H. (1956). Notes on bias in estimation. Biometrika. Vol. 43, pp. 353-360.
  • Rao, J.N.K. and Shao, J. (1992). Jackknife variance estimation with survey data under hot deck imputation. Biometrika. Vol. 79, 4, pp. 811-822.
  • Rao, J.N.K., Wu, C.F.J. and Yue, K. (1992). Some recent work on resampling methods for complex surveys. Survey Methodology. Vol. 18, 2, pp. 209-217.
  • Shao, J. and Tu, D. (1995). The Jackknife and Bootstrap. Springer-Verlag, Inc.
  • Tukey, J.W. (1958). Bias and confidence in not-quite large samples (abstract). The Annals of Mathematical Statistics. Vol. 29, 2, pp. 614.
  • Wu, C.F.J. (1986). Jackknife, Bootstrap and other resampling methods in regression analysis. The Annals of Statistics. Vol. 14, 4, pp. 1261-1295.

Métodos Monte Carlo

  • George S. Fishman (1995). Monte Carlo: Concepts, Algorithms, and Applications, Springer, New York. ISBN 0-387-94527-X.
  • James E. Gentle (2009). Computational Statistics, Springer, New York. Part III: Methods of Computational Statistics. ISBN 978-0-387-98143-7.
  • Christian P. Robert and George Casella (2004). Monte Carlo Statistical Methods, Second ed., Springer, New York. ISBN 0-387-21239-6.
  • Shlomo Sawilowsky and Gail Fahoome (2003). Statistics via Monte Carlo Simulation with Fortran. Rochester Hills, MI: JMASM. ISBN 0-9740236-0-4.


Test de Permutación

Referencias originales:

  • R. A. Fisher, The Design of Experiment, New York: Hafner, 1935.
  • Pitman, E. J. G., "Significance tests which may be applied to samples from any population", Royal Statistical Society Supplement, 1937; 4: 119-130 and 225-32 (parts I and II).
  • Pitman, E. J. G., "Significance tests which may be applied to samples from any population. Part III. The analysis of variance test", Biometrika, 1938; 29: 322-335.

Referencias modernas:

  • E. S. Edgington, Randomization tests, 3rd ed. New York: Marcel-Dekker, 1995.
  • Phillip I. Good, Permutation, Parametric and Bootstrap Tests of Hypotheses, 3rd ed., Springer, 2005. ISBN 0-387-98898-X
  • Good, P. (2002) Extensions of the concept of exchangeability and their applications, J. Modern Appl. Statist. Methods, 1:243-247.
  • Lunneborg, Cliff. Data Analysis by Resampling, Duxbury Press, 1999. ISBN 0-534-22110-6.
  • Pesarin, F. 2001. Multivariate Permutation Tests, John Wiley & Sons.
  • Welch, W. J., Construction of permutation tests, Journal of American Statistical Association, 85:693-698, 1990.

Métodos computacionales:

  • Mehta, C. R. and Patel, N. R. (1983). 2A network algorithm for performing Fisher’s exact test in r x c contingency tables", J. Amer. Statist. Assoc, 78(382):427–434.
  • Metha, C. R., Patel, N. R. and Senchaudhuri, P. (1988). "Importance sampling for estimating exact probabilities in permutational inference", J. Am. Statist. Assoc., 83(404):999–1005.

Métodos de remuestreo

  • Good, P. (2006) Resampling Methods. 3rd Ed. Birkhauser.
  • Wolter, K.M. (2007). Introduction to Variance Estimation. 2nd Edition. Springer, Inc.


  •   Datos: Q1170431

Noviembre 26, 2021
remuestreo, ámbito, estadística, denomina, remuestreo, resampling, inglés, variedad, métodos, permiten, realizar, algunas, siguientes, operaciones, estimar, precisión, muestras, estadísticas, medianas, variancias, percentiles, mediante, subconjuntos, datos, di. En el ambito de la estadistica se denomina remuestreo resampling en ingles a una variedad de metodos que permiten realizar algunas de las siguientes operaciones Estimar la precision de muestras estadisticas medianas variancias percentiles mediante el uso de subconjuntos de datos disponibles jackknifing o tomando datos en forma aleatoria de un conjunto de datos bootstrapping Intercambiar marcadores de puntos de datos al realizar tests de significancia test de permutacion tambien denominados tests exactos tests de aleatoriedad o pruebas de re aleatoriedad Validar modelos para el uso de subconjuntos aleatorios bootstrapping validacion cruzada Entre las tecnicas comunes de remuestreo se encuentran bootstrapping jackknifing y pruebas de permutacion Indice 1 Bootstrap 2 Jackknifing 3 Submuestreo 4 Referencias 5 Bibliografia 5 1 Introduccion a la estadistica 5 1 1 Tecnica de bootstrap 5 1 2 Tecnica de Jackknife 5 2 Metodos Monte Carlo 5 2 1 Test de Permutacion 5 3 Metodos de remuestreoBootstrap EditarArticulo principal Bootstrapping estadistica El mejor ejemplo del principio de plug in el metodo bootstrapping Bootstrapping es un metodo estadistico para estimar la distribucion muestral de un estimador mediante el muestreo con reemplazo de la muestra original la mayoria de las veces con el proposito de obtener estimaciones robustas de errores estandar e intervalos de confianza de un parametro de la poblacion como una media mediana proporcion razon de momios coeficiente de correlacion o coeficiente de regresion 1 Se le ha llamado principio plug in 2 ya que es el metodo de estimacion de los funcionales de una distribucion de poblacion mediante la evaluacion de los mismos funcionales en la distribucion empirica basada en una muestra Se le llama un principio porque es demasiado simple para ser otra cosa es solo una guia no un teorema Por ejemplo 2 al estimar la media de la poblacion este metodo utiliza la media de la muestra para estimar la mediana de la poblacion utiliza la mediana de la muestra para estimar la regresion lineal de la poblacion utiliza la regresion lineal de la muestra Tambien se puede utilizar para construir pruebas de hipotesis A menudo se usa como una alternativa robusta a la inferencia basada en suposiciones parametricas cuando esas suposiciones estan en duda o cuando la inferencia parametrica es imposible o requiere formulas muy complicadas para el calculo de errores estandar Las tecnicas de bootstrapping tambien se utilizan en las transiciones de seleccion de actualizacion de filtros de particulas algoritmos geneticos y metodos Monte Carlo de remuestreo reconfiguracion relacionados utilizados en fisica computacional 3 4 En este contexto el bootstrap se utiliza para reemplazar medidas de probabilidad ponderada secuencialmente empiricas por medidas empiricas El bootstrap permite reemplazar las muestras con factores de ponderacion bajos por copias de las muestras con factores de ponderacion altos Jackknifing EditarJackknifing es similar a bootstrapping y se usa en inferencia estadistica para estimar el sesgo y el error estandar varianza de una estadistica cuando se usa una muestra aleatoria de observaciones para calcularlo 1 Quenouille invento este metodo con la intencion de reducir el sesgo de la estimacion de la muestra Tukey amplio este metodo al suponer que si las replicas pudieran considerarse distribuidas de manera identica e independiente entonces podria hacerse una estimacion de la varianza del parametro de muestra y que se distribuiria aproximadamente como una variable t con n 1 grados de libertad donde n es el tamano de la muestra 1 La idea basica del estimador de varianza jackknife radica en volver a calcular sistematicamente la estimacion estadistica omitiendo una o mas observaciones a la vez del conjunto de muestras A partir de este nuevo conjunto de replicas de la estadistica se puede calcular una estimacion del sesgo y una estimacion de la varianza de la estadistica En lugar de usar jackknife para estimar la varianza se puede aplicar en cambio al logaritmo de la varianza Esta transformacion puede resultar en mejores estimaciones particularmente cuando la distribucion de la varianza puede no ser normal Para muchos parametros estadisticos la estimacion de varianza jackknife tiende asintoticamente al valor verdadero casi con seguridad Desde un punto de vista tecnico se dice que la estimacion jackknife es consistente El jackknife es consistente para las medias muestrales las varianzas muestrales las estadisticas t centradas y no centradas con poblaciones posiblemente no normales el coeficiente de variacion de la muestra los estimadores de maxima verosimilitud los estimadores de cuadrados minimos los coeficientes de correlacion y los coeficientes de regresion Submuestreo EditarEl submuestreo es un metodo alternativo para aproximar la distribucion muestral de un estimador 5 Las dos diferencias claves con el bootstrap son i el tamano de la submuestra es mas pequeno que el tamano de la muestra y ii el muestreo se realiza sin reemplazo La ventaja del submuestreo es que es valido en condiciones mucho mas debiles en comparacion con el bootstrap En particular un conjunto de condiciones suficientes es que se conoce la tasa de convergencia del estimador y que la distribucion limitante es continua ademas el tamano de la nueva muestra o submuestra debe tender a infinito junto con el tamano de la muestra pero a una tasa menor de modo que su relacion converja a cero Si bien el submuestreo se propuso originalmente solo para el caso de datos independientes e identicamente distribuidos iid la metodologia se ha ampliado para abarcar tambien datos de series temporales en este caso se vuelven a muestrear bloques de datos posteriores en lugar de puntos de datos individuales Hay muchos casos de interes aplicado en los que el submuestreo conduce a una inferencia valida mientras que el bootstrapping no lo hace por ejemplo casos en los que la tasa de convergencia del estimador no es la raiz cuadrada del tamano de la muestra o cuando la distribucion limitante no es normal Referencias Editar a b c Bradley Efron 1982 The jackknife the bootstrap and other resampling plans In Society of Industrial and Applied Mathematics CBMS NSF Monographs 38 a b Logan J David and Wolesensky Willian R Mathematical methods in biology Pure and Applied Mathematics a Wiley interscience Series of Texts Monographs and Tracts John Wiley amp Sons Inc 2009 Chapter 6 Statistical inference Section 6 6 Bootstrap methods Del Moral Pierre 2004 Feynman Kac formulae Genealogical and interacting particle approximations Springer p 575 Series Probability and Applications Del Moral Pierre 2013 Mean field simulation for Monte Carlo integration Chapman amp Hall CRC Press p 626 Monographs on Statistics amp Applied Probability Good P 2005 Introduction to Statistics Through Resampling Methods and R S PLUS Wiley ISBN 0 471 71575 1Bibliografia EditarIntroduccion a la estadistica Editar Good P 2005 Introduction to Statistics Through Resampling Methods and R S PLUS Wiley ISBN 0 471 71575 1 Good P 2005 Introduction to Statistics Through Resampling Methods and Microsoft Office Excel Wiley ISBN 0 471 73191 9 Hesterberg T C D S Moore S Monaghan A Clipson and R Epstein 2005 Bootstrap Methods and Permutation Tests Wolter K M 2007 Introduction to Variance Estimation Second Edition Springer Inc Tecnica de bootstrap Editar Bradley Efron 1979 Bootstrap methods Another look at the jackknife The Annals of Statistics 7 1 26 Bradley Efron 1981 Nonparametric estimates of standard error The jackknife the bootstrap and other methods Biometrika 68 589 599 Bradley Efron 1982 The jackknife the bootstrap and other resampling plans In Society of Industrial and Applied Mathematics CBMS NSF Monographs 38 Persi Diaconis Bradley Efron 1983 Computer intensive methods in statistics Scientific American May 116 130 Bradley Efron Robert J Tibshirani 1993 An introduction to the bootstrap New York Chapman amp Hall software Davison A C and Hinkley D V 1997 Bootstrap Methods and their Application software Mooney C Z amp Duval R D 1993 Bootstrapping A Nonparametric Approach to Statistical Inference Sage University Paper series on Quantitative Applications in the Social Sciences 07 095 Newbury Park CA Sage Simon J L 1997 Resampling The New Statistics Tecnica de Jackknife Editar Berger Y G 2007 A jackknife variance estimator for unistage stratified samples with unequal probabilities Biometrika Vol 94 4 pp 953 964 Berger Y G and Rao J N K 2006 Adjusted jackknife for imputation under unequal probability sampling without replacement Journal of the Royal Statistical Society B Vol 68 3 pp 531 547 Berger Y G and Skinner C J 2005 A jackknife variance estimator for unequal probability sampling Journal of the Royal Statistical Society B Vol 67 1 pp 79 89 Jiang J Lahiri P and Wan S M 2002 A unified jackknife theory for empirical best prediction with M estimation The Annals of Statistics Vol 30 6 pp 1782 810 Jones H L 1974 Jackknife estimation of functions of stratum means Biometrika Vol 61 2 pp 343 348 Kish L and Frankel M R 1974 Inference from complex samples Journal of the Royal Statistical Society B Vol 36 1 pp 1 37 Krewski D and Rao J N K 1981 Inference from stratified samples properties of the linearization jackknife and balanced repeated replication methods The Annals of Statistics Vol 9 5 pp 1010 1019 Quenouille M H 1956 Notes on bias in estimation Biometrika Vol 43 pp 353 360 Rao J N K and Shao J 1992 Jackknife variance estimation with survey data under hot deck imputation Biometrika Vol 79 4 pp 811 822 Rao J N K Wu C F J and Yue K 1992 Some recent work on resampling methods for complex surveys Survey Methodology Vol 18 2 pp 209 217 Shao J and Tu D 1995 The Jackknife and Bootstrap Springer Verlag Inc Tukey J W 1958 Bias and confidence in not quite large samples abstract The Annals of Mathematical Statistics Vol 29 2 pp 614 Wu C F J 1986 Jackknife Bootstrap and other resampling methods in regression analysis The Annals of Statistics Vol 14 4 pp 1261 1295 Metodos Monte Carlo Editar George S Fishman 1995 Monte Carlo Concepts Algorithms and Applications Springer New York ISBN 0 387 94527 X James E Gentle 2009 Computational Statistics Springer New York Part III Methods of Computational Statistics ISBN 978 0 387 98143 7 Christian P Robert and George Casella 2004 Monte Carlo Statistical Methods Second ed Springer New York ISBN 0 387 21239 6 Shlomo Sawilowsky and Gail Fahoome 2003 Statistics via Monte Carlo Simulation with Fortran Rochester Hills MI JMASM ISBN 0 9740236 0 4 Test de Permutacion Editar Referencias originales R A Fisher The Design of Experiment New York Hafner 1935 Pitman E J G Significance tests which may be applied to samples from any population Royal Statistical Society Supplement 1937 4 119 130 and 225 32 parts I and II Pitman E J G Significance tests which may be applied to samples from any population Part III The analysis of variance test Biometrika 1938 29 322 335 Referencias modernas E S Edgington Randomization tests 3rd ed New York Marcel Dekker 1995 Phillip I Good Permutation Parametric and Bootstrap Tests of Hypotheses 3rd ed Springer 2005 ISBN 0 387 98898 X Good P 2002 Extensions of the concept of exchangeability and their applications J Modern Appl Statist Methods 1 243 247 Lunneborg Cliff Data Analysis by Resampling Duxbury Press 1999 ISBN 0 534 22110 6 Pesarin F 2001 Multivariate Permutation Tests John Wiley amp Sons Welch W J Construction of permutation tests Journal of American Statistical Association 85 693 698 1990 Metodos computacionales Mehta C R and Patel N R 1983 2A network algorithm for performing Fisher s exact test in r x c contingency tables J Amer Statist Assoc 78 382 427 434 Metha C R Patel N R and Senchaudhuri P 1988 Importance sampling for estimating exact probabilities in permutational inference J Am Statist Assoc 83 404 999 1005 Metodos de remuestreo Editar Good P 2006 Resampling Methods 3rd Ed Birkhauser Wolter K M 2007 Introduction to Variance Estimation 2nd Edition Springer Inc Datos Q1170431 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Remuestreo amp oldid 139002810, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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