Relación asimétrica

Una relación binaria R sobre un conjunto A, es asimétrica cuando si se da que un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces el segundo nunca está relacionado con el primero. Es decir:

${\displaystyle \forall x,y\in A:\quad xRy\quad \Rightarrow \quad \neg (yRx)}$

En tal caso se dice que R cumple con la relación de asimetría.

También podemos decir que R es asimétrica si:

${\displaystyle \forall x,y\in A:\quad \neg (xRy)\quad \lor \quad \neg (yRx)}$

Representación

Sea R una relación asimétrica aplicada sobre un conjunto A, entonces R tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

Notación	Relación asimétrica
Como pares ordenados	${\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\not \in R}$
Como matriz de adyacencia	Matriz ${\displaystyle M\,}$  cuya diagonal solo tiene ceros, es decir, ${\displaystyle \forall i=\{1,...,n\},\;(a_{i,i})_{n\times n}=0,}$  y además ${\displaystyle M+M^{t}\,}$  produce una matriz simétrica.
Como grafo	Es un grafo dirigido sin bucles ni ciclos.

Relación simétrica

Cuando una relación es lo opuesto a la asimétrica, nos referimos a que si dado un elemento que está relacionado con otro, entonces ese segundo siempre está relacionado con el primero, o lo que es lo mismo:

${\displaystyle \forall x,y\in A:\quad xRy\quad \Rightarrow \quad yRx}$ 

Estamos entonces ante una relación simétrica.

Ejemplos de asimetría

Sea A un conjunto cualquiera:

• Sea ${\displaystyle (A,>)\,}$ , ${\displaystyle >\,}$  ("mayor estricto que"), al igual que ${\displaystyle <\,}$  ("menor estricto que"). Sin embargo, no ocurre lo mismo para ≤ ("menor o igual que") o ≥ ("mayor o igual que").
• Sea ${\displaystyle (A,\subset )}$ , ${\displaystyle \subset }$  (la inclusión estricta de conjuntos).
• En A = {1, 2, 3, 4} la relación R = { (1, 3), (4, 2), (2, 3) }. En caso de encontrarnos en A = {1, 2} y tener la relación R = { (1, 2), (2, 1) } estaríamos ante una relación simétrica
• "Ser hijo de" o "ser padre de" conformarían una relación asimétrica, sin embargo, "ser hermano de" no.

Reflexividad

Una relación asimétrica no puede ser a su vez reflexiva, ya que si x = y entonces:

${\displaystyle \quad xRy\quad \land \quad yRx}$ 

Esto es algo que no puede ocurrir por la propia definición. Es decir, toda relación asimétrica es irreflexiva.

Diferencia entre asimétrica y antisimétrica

Como ya se ha visto, la relación asimétrica y la simétrica son opuestas entre sí, pues nunca se va a dar una relación que sea ambas a la vez, y una que no sea simétrica siempre será asimétrica, y viceversa. Pero esto no ocurre con la antisimétrica.

Una relación antisimétrica es aquella que verifica que si dos elementos de A se relacionan entre sí mediante R, entonces esos dos elementos son iguales:

${\displaystyle \forall a,b\in A\;:\quad aRb\quad \land \quad bRa\quad \Rightarrow \quad a=b}$ 

Una relación puede ser a la vez o simétrica o asimétrica, y antisimétrica.

Véase también

• Relación simétrica
• Relación antisimétrica
• Relación reflexiva
• Relación irreflexiva

Referencias

1. Liu, Chung Laung (1995). «4». Elementos de Matemáticas Discretas (Segunda edición). Illinois: Mc Graw Hill. p. 111. ISBN 970-10-0743-3.