Fórmula de Faà di Bruno

La fórmula de Faà di Bruno es una identidad que generaliza la regla de la cadena a derivadas de orden superior, llamada así en honor al matemático italiano Francesco Faà di Bruno (1825-1888) , aunque él no fue el primero en afirmar o demostrar la fórmula. En 1800, más de 50 años antes de Faà di Bruno, el matemático francés Louis François Antoine Arbogast (1759-1803) declaró la fórmula en un libro de cálculo,^[1]​ considerada la primera referencia publicada al respecto sobre el tema.^[2]​

Quizás, la forma más conocida de la fórmula Faa di Bruno dice que:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}}}$,

donde la suma es sobre todas las n-tuplas de enteros no negativos (m₁, …, m_n) que satisfacen la restricción:

${\displaystyle 1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.\,}$.

A veces, para darle un patrón memorable, esta está escrita en una forma en la que los coeficientes que tienen la interpretación combinatoria que se discuten a continuación son menos explícitos:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}}$.

Combinando los términos con el mismo valor de m₁ + m₂ + ... + m_n = k y notando que m _j tiene que ser cero para j > n − k + 1 proporciona una fórmula algo más sencilla en términos de Polinomios de Bell B_n,k(x₁,...,x_n−k+1):

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right)}$.

Referencias

1. Arbogast, L.F.A. (1800). Du calcul des derivations. Strasbourg: Levrault. 
2. Craik, A.D.D. (2005). «Prehistory of Faà di Bruno's Formula». American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 112 (2): 217-234. JSTOR 30037410. doi:10.2307/30037410. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Faa di Bruno's Formula». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• An intuitive presentation of Faà di Bruno's formula, with examples

•   Datos: Q1437653