En geometría, el punto de Spieker o centro de Spieker es un punto especial asociado con un triángulo. Se define como el centro de masa del perímetro del triángulo. El centro de Spieker de un triángulo ABC es el centro de gravedad de una estructura de alambre homogénea en forma de triángulo ABC.[1][2] El punto recibe su nombre en honor al geómetra alemán del siglo XIX Theodor Spieker.[3] El punto de Spieker es un centro triangular y aparece como el punto X(10) en la Enciclopedia de Centros del Triángulo de Clark Kimberling.
Ubicación
El punto de Spieker del triángulo ABC es el incentro del triángulo medial del triángulo ABC
El siguiente resultado se puede utilizar para localizar el centro de Spieker de cualquier triángulo.[1]
El centro de Spieker también se encuentra en la intersección de las tres cuchillas del triángulo ABC. Una cuchilla de un triángulo es un segmento de línea que biseca el perímetro del triángulo y tiene un punto final en el punto medio de uno de los tres lados. Cada cuchilla contiene el centro de masa del límite del triángulo ABC, por lo que las tres cuchillas se encuentran en el centro de Spieker.
Para ver que el incentro del triángulo medial coincide con el punto de intersección de las cuchillas, considere una estructura de alambre homogénea en forma de triángulo ABC que consta de tres alambres en forma de segmentos de línea que tienen longitudes a, b, c. La estructura de alambre tiene el mismo centro de masa que un sistema de tres partículas de masas a, b, c colocadas en los puntos medios D, E, F de los lados BC, CA, AB. El centro de masa de las partículas en E y F es el punto P que divide el segmento EF en la relación c: b. La línea DP es la bisectriz interna de ∠D. Por tanto, el centro de masa del sistema de tres partículas se encuentra en la bisectriz interna de ∠D. Argumentos similares muestran que el centro de masa del sistema de tres partículas también se encuentra en las bisectrices internas de ∠E y ∠F. De ello se deduce que el centro de masa de la estructura de alambre es el punto de concurrencia de las bisectrices internas de los ángulos del triángulo DEF, que es el incentro del triángulo medial DEF.
Propiedades
El centro de Spieker, centro de las cuchillas de un triángulo
S es el centro de separación del triángulo ABC.[1]
S es colineal con el incentro (I), el centroide (G) y el punto de Nagel (M) del triángulo ABC. Además,[6]
Por lo tanto, en una recta numérica adecuadamente escalada y posicionada, I = 0, G = 2, S = 3 y M = 6.
S se encuentra en la hipérbola de Kiepert. S es el punto de coincidencia de las líneas AX, BY y CZ donde XBC, YCA y ZAB son trinágulos similares, isósceles y situados de manera similar construidos en los lados del triángulo ABC como bases, que tienen el ángulo de base común tan−1 [ tan(A/2) tan(B/2) tan(C/2) ].[7]
Referencias
↑ Honsberger, Ross (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Mathematical Association of America. pp. 3–4.
Kimberling, Clark. «Spieker center». Consultado el 5 de mayo de 2012.
Spieker, Theodor (1888). Lehrbuch der ebenen Geometrie. Potsdam, Germany.
↑ Kimberling, Clark. «Encyclopedia of Triangle Centers». Consultado el 5 de mayo de 2012.
Odenhal, Boris (2010), «Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles», Forum Geometricorum10: 35-40.
Bogomolny, A.. «Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles». Consultado el 5 de mayo de 2012.
punto, spieker, geometría, punto, spieker, centro, spieker, punto, especial, asociado, triángulo, define, como, centro, masa, perímetro, triángulo, centro, spieker, triángulo, centro, gravedad, estructura, alambre, homogénea, forma, triángulo, punto, recibe, n. En geometria el punto de Spieker o centro de Spieker es un punto especial asociado con un triangulo Se define como el centro de masa del perimetro del triangulo El centro de Spieker de un triangulo ABC es el centro de gravedad de una estructura de alambre homogenea en forma de triangulo ABC 1 2 El punto recibe su nombre en honor al geometra aleman del siglo XIX Theodor Spieker 3 El punto de Spieker es un centro triangular y aparece como el punto X 10 en la Enciclopedia de Centros del Triangulo de Clark Kimberling Ubicacion Editar El punto de Spieker del triangulo ABC es el incentro del triangulo medial del triangulo ABC El siguiente resultado se puede utilizar para localizar el centro de Spieker de cualquier triangulo 1 El punto de Spieker del triangulo ABC es el incentro del triangulo medial del triangulo ABC Es decir el centro de Spieker del triangulo ABC es el centro de la circunferencia inscrita en el triangulo medial del triangulo ABC Este circulo se conoce como la circunferencia de Spieker El centro de Spieker tambien se encuentra en la interseccion de las tres cuchillas del triangulo ABC Una cuchilla de un triangulo es un segmento de linea que biseca el perimetro del triangulo y tiene un punto final en el punto medio de uno de los tres lados Cada cuchilla contiene el centro de masa del limite del triangulo ABC por lo que las tres cuchillas se encuentran en el centro de Spieker Para ver que el incentro del triangulo medial coincide con el punto de interseccion de las cuchillas considere una estructura de alambre homogenea en forma de triangulo ABC que consta de tres alambres en forma de segmentos de linea que tienen longitudes a b c La estructura de alambre tiene el mismo centro de masa que un sistema de tres particulas de masas a b c colocadas en los puntos medios D E F de los lados BC CA AB El centro de masa de las particulas en E y F es el punto P que divide el segmento EF en la relacion c b La linea DP es la bisectriz interna de D Por tanto el centro de masa del sistema de tres particulas se encuentra en la bisectriz interna de D Argumentos similares muestran que el centro de masa del sistema de tres particulas tambien se encuentra en las bisectrices internas de E y F De ello se deduce que el centro de masa de la estructura de alambre es el punto de concurrencia de las bisectrices internas de los angulos del triangulo DEF que es el incentro del triangulo medial DEF Propiedades Editar El centro de Spieker centro de las cuchillas de un triangulo Sea S el punto de Spieker del triangulo ABC Las coordenadas trilineales de S sonbc b c ca c a ab a b 4 dd Las coordenadas baricentricas de S sonb c c a a b 4 dd S es el centro radical de los tres excirculos 5 S es el centro de separacion del triangulo ABC 1 S es colineal con el incentro I el centroide G y el punto de Nagel M del triangulo ABC Ademas 6 I S S M I G 2 G S M G 2 I G displaystyle IS SM quad IG 2 cdot GS quad MG 2 cdot IG dd Por lo tanto en una recta numerica adecuadamente escalada y posicionada I 0 G 2 S 3 y M 6 S se encuentra en la hiperbola de Kiepert S es el punto de coincidencia de las lineas AX BY y CZ donde XBC YCA y ZAB son trinagulos similares isosceles y situados de manera similar construidos en los lados del triangulo ABC como bases que tienen el angulo de base comun tan 1 tan A 2 tan B 2 tan C 2 7 Referencias Editar a b c Honsberger Ross 1995 Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry Mathematical Association of America pp 3 4 Kimberling Clark Spieker center Consultado el 5 de mayo de 2012 Spieker Theodor 1888 Lehrbuch der ebenen Geometrie Potsdam Germany a b Kimberling Clark Encyclopedia of Triangle Centers Consultado el 5 de mayo de 2012 Odenhal Boris 2010 Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles Forum Geometricorum 10 35 40 Bogomolny A Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles Consultado el 5 de mayo de 2012 Weisstein Eric W Kiepert Hyperbola En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q7577104 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Punto de Spieker amp oldid 132388450, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
