En teoría de procesos estocásticos, un proceso adaptado (o proceso no anticipatorio) es un proceso en el que el conjunto de eventos posibles hasta un instante dado solo depende de los eventos pasados y el proceso "no puede anticipar el futuro". Una interpretación informal de esto es que un proceso X es adaptado si y solo si, para cada realización y todo tiempo t, el valor de Xt se conoce en el tiempo solo t.[1] El concepto de proceso adaptado es esencial, por ejemplo, en la definición de la integral de Itō que aparece como solución a la ecuación diferencial estocástica de Itō, que solo tiene sentido si el integrando es un proceso adaptado.
Si se toma la filtración natural F•X, donde FtX es la σ-álgebra generada por las preimágenes Xs−1(B) de los conjuntos borelianos B de R y tiempos 0 ≤ s ≤ t, entonces X es automáticamente un proceso F•X-adaptado. Intuitivamente, la filtración natural F•X contiene la "información completa" sobre el comportamiento de X hasta el instante t.
Esto ofrece un ejemplo sencillo de proceso no adaptado X : [0, 2] × Ω → R: se escoge Ft como la σ-álgebra trivial {∅, Ω} para instantes 0 ≤ t < 1, y Ft = FtX para instantes 1 ≤ t ≤ 2. Puesto que la única manera de que una función pueda ser medible con respecto a la σ-álgebra trivial es que sea constante, cualquier proceso no constante en [0, 1] no puede ser F•-adaptado. El carácter no constante de un proceso "usa información" de una σ-álgebra futura que contiene más información Ft, 1 ≤ t ≤ 2.
Wiliams, David (1979). «II.25». Diffusions, Markov Processes and Martingales: Foundations1. Wiley. ISBN0-471-99705-6.
Øksendal, Bernt (2003). Stochastic Differential Equations. Springer. p. 25. ISBN978-3-540-04758-2.
Bibliografía
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Protter, P. E. (2013). Stochastic integration and differential equations (Vol. 21). Springer.
Datos:Q4680695
Agosto 27, 2021
proceso, adaptado, teoría, procesos, estocásticos, proceso, adaptado, proceso, anticipatorio, proceso, conjunto, eventos, posibles, hasta, instante, dado, solo, depende, eventos, pasados, proceso, puede, anticipar, futuro, interpretación, informal, esto, proce. En teoria de procesos estocasticos un proceso adaptado o proceso no anticipatorio es un proceso en el que el conjunto de eventos posibles hasta un instante dado solo depende de los eventos pasados y el proceso no puede anticipar el futuro Una interpretacion informal de esto es que un proceso X es adaptado si y solo si para cada realizacion y todo tiempo t el valor de Xt se conoce en el tiempo solo t 1 El concepto de proceso adaptado es esencial por ejemplo en la definicion de la integral de Itō que aparece como solucion a la ecuacion diferencial estocastica de Itō que solo tiene sentido si el integrando es un proceso adaptado Indice 1 Definicion formal 2 Ejemplos 3 Vease tambien 4 Referencias 4 1 BibliografiaDefinicion formal EditarSea W F P displaystyle Omega mathcal F mathbb P un espacio de probabilidad I displaystyle I un conjunto totalmente ordenado de indices displaystyle leq frecuentemente I displaystyle I es N displaystyle mathbb N N 0 displaystyle mathbb N 0 0 T displaystyle 0 T o 0 displaystyle 0 infty F F i i I displaystyle mathcal F cdot left mathcal F i right i in I es una filtracion de la s algebra F displaystyle mathcal F S S displaystyle S Sigma es un espacio de medida el espacio de estados X I W S displaystyle X I times Omega to S es un proceso estocastico El proceso X displaystyle X esta adaptado a la filtracion F i i I displaystyle left mathcal F i right i in I si la variable aleatoria X i W S displaystyle X i Omega to S es una funcion medible de F i S displaystyle mathcal F i Sigma para cada i I displaystyle i in I 2 Ejemplos EditarConsiderese un proceso estocastico X 0 T W R y la recta real R equipada con la s algebra de Borel generada por los conjuntos abiertos de la topologia usual de la recta real Si se toma la filtracion natural F X donde FtX es la s algebra generada por las preimagenes Xs 1 B de los conjuntos borelianos B de R y tiempos 0 s t entonces X es automaticamente un proceso F X adaptado Intuitivamente la filtracion natural F X contiene la informacion completa sobre el comportamiento de X hasta el instante t Esto ofrece un ejemplo sencillo de proceso no adaptado X 0 2 W R se escoge Ft como la s algebra trivial W para instantes 0 t lt 1 y Ft FtX para instantes 1 t 2 Puesto que la unica manera de que una funcion pueda ser medible con respecto a la s algebra trivial es que sea constante cualquier proceso no constante en 0 1 no puede ser F adaptado El caracter no constante de un proceso usa informacion de una s algebra futura que contiene mas informacion Ft 1 t 2 Vease tambien EditarProceso predictibleReferencias Editar Wiliams David 1979 II 25 Diffusions Markov Processes and Martingales Foundations 1 Wiley ISBN 0 471 99705 6 Oksendal Bernt 2003 Stochastic Differential Equations Springer p 25 ISBN 978 3 540 04758 2 Bibliografia Editar Nualart D 2006 The Malliavin calculus and related topics Vol 1995 Berlin Springer Protter P E 2013 Stochastic integration and differential equations Vol 21 Springer Datos Q4680695Obtenido de https es wikipedia org w index php title Proceso adaptado amp oldid 120146441, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,