Poliominó
Un poliminó o poliominó es un objeto geométrico obtenido al unir varios cuadrados o celdas del mismo tamaño de forma que cada par de celdas vecinas compartan un lado. Los poliominós son, por tanto, un caso especial de poliformas.
El término poliominó (inglés: polyomino) se origina en una conferencia de Solomon Golomb en Harvard Mathematics Club en 1953, misma que fue publicada posteriormente en el American Mathematical Monthly y en el ejemplar de mayo de 1957 de Scientific American.[1]
Los poliominós son una generalización de la forma de un dominó, consistente en dos cuadrados unidos por un lado (sin prestar atención al contenido de los mismos).
Nomenclatura
Existen diferentes traducciones para los nombres de los diferentes poliminós, aunque a grandes rasgos todos ellos son derivados del prefijo griego correspondiente al número de celdas que forman la figura.
| número de piezas: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | arbitrario |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| nombre: | monominó | dominó | trominó | tetrominó | pentominó | hexominó | heptominó | octominó | nonominó | decaminó | poliominó |
Por ejemplo, el prefijo griego que indica el número tres es tri-, por lo que las poliminós obtenidos al unir tres celdas se llaman trominós (inglés: trominoes), siguiendo la sustitución del prefijo di- por do- en el nombre de los dominós (inglés: dominoes).
No es infrecuente encontrar en la literatura variantes de estos nombres, siendo la más común el uso del prefijo griego sin cambio. Por ejemplo, un poliminó de 5 cuadrados puede aparecer como pentominó[2][3] pero también como pentaminó.[4] Una nomenclatura alternativa aparece en la siguiente tabla.
| número de piezas: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | arbitrario |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| nombre: | monominó | dominó | triminó | tetraminó | pentaminó | hexaminó | heptaminó | octaminó | enneominó | decominó | poliominó |
Sin embargo, en ocasiones es posible encontrar otras variantes. Por ejemplo un trominó[5] es nombrado en ocasiones como triominó.[6]
Enumeración de poliominós
Se desconoce aún una fórmula que determine el número de poliominós (es decir, de formas diferentes) con una cantidad determinada de celdas.
Al numerar poliminós se suelen considerar como de una misma forma aquellos poliominós obtenidos mediante rotaciones o simetrías. Adicionalmente, se consideran diferentes subclases de poliominós:
- Poliominós libres: Son aquellos que no tienen restricción alguna, excepto considerar como iguales aquellas formas obtenidas mediante reflexión o rotación.
- Poliominós (libres) sin agujeros: Cuando el número de celdas incrementa, es posible que aparezcan poliominós con agujeros. Esta clase de poliominós son aquellos donde las formas con agujeros no son permitidas.
- Poliominós unilaterales: A diferencia de los poliominós libres, aquí solo se consideran iguales formas obtenidas mediante rotación pero no mediante reflexión. Por ejemplo en la figura anterior, los cuatro poliominós de la derecha son diferentes a los cuatro de la izquierda si se consideran como poliominós unilaterales.
- Poliominós fijos: En esta clase nunca se consideran iguales a menos que realmente lo sean, es decir, no tienen restricciones (las formas obtenidas por rotación o reflexión se consideran diferentes)
| n | nombre | libres (sucesión A000105 en OEIS) | libre con agujeros (A001419) | libre sin agujeros (A000104) | unilaterales (A000988) | fijos ( , A001168) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | monominó | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | dominó | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 |
| 3 | trominó o triomino | 2 | 0 | 2 | 2 | 6 |
| 4 | tetrominó | 5 | 0 | 5 | 7 | 19 |
| 5 | pentominó | 12 | 0 | 12 | 18 | 63 |
| 6 | hexominó | 35 | 0 | 35 | 60 | 216 |
| 7 | heptominó | 108 | 1 | 107 | 196 | 760 |
| 8 | octominó | 369 | 6 | 363 | 704 | 2,725 |
| 9 | nonominó o enneominó | 1,285 | 37 | 1,248 | 2,500 | 9,910 |
| 10 | decominó | 4,655 | 195 | 4,460 | 9,189 | 36,446 |
| 11 | undecominó | 17,073 | 979 | 16,094 | 33,896 | 135,268 |
| 12 | dodecominó | 63,600 | 4,663 | 58,937 | 126,759 | 505,861 |
Referencias
- Golomb, Solomon W. (1965). Polyominoes (en inglés) (1a edición). Nueva York: Charles Scribner's Sons. p. 13. OCLC 982644. LOC 64-24805.
- Joaquín García Mollá (22 de septiembre de 2008). . Archivado desde el original el 13 de septiembre de 2010. Consultado el 4 de julio de 2010.
- Recursos didácticos del proyecto CICA Thales. «Pentominós». Consultado el 4 de julio de 2010.
- Mates y + (24 de febrero de 2008). «Construyendo figuras con pentaminós». Consultado el 4 de julio de 2010.
- Johnsonbaugh, Richard (2005). Matemáticas Discretas. Traducción al español de la 6a edición en inglés. México: Prentice Hall Hispanoamericana. p. 58. Consultado el 4 de julio de 2010.
- Johnsonbaugh, Richard (1999). Matemáticas Discretas. Traducción al español de la 4a edición en inglés. México: Prentice Hall Hispanoamericana. p. 51. ISBN 9701702530. Consultado el 28 de junio de 2010.