En geometría, un pentadecágono es un polígono de (15) (lados) y 15 (vértices).[1]
Pentadecágono | ||
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![]() Un pentadecágono regular | ||
Características | ||
Tipo | Polígono regular | |
(Lados) | 15 | |
(Vértices) | 15 | |
(Grupo de simetría) | , orden 2x15 | |
(Símbolo de Schläfli) | {15} (pentadecágono regular) | |
(Diagrama de Coxeter-Dynkin) | ![]() ![]() ![]() | |
(Polígono dual) | Autodual | |
Área | (lado ) | |
(Ángulo interior) | 156° | |
Propiedades | ||
(Convexo), (isogonal), (cíclico) | ||
Propiedades
Un pentadecágono tiene 90 (diagonales), resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono, ; siendo el número de lados
, se tiene que:
La suma de todos los (ángulos internos) de cualquier pentadecágono es 2340 (grados) o (radianes).
Pentadecágono regular
![image](https://www.wiki3.es-es.nina.az/image/aHR0cHM6Ly91cGxvYWQud2lraW1lZGlhLm9yZy93aWtpcGVkaWEvY29tbW9ucy90aHVtYi9kL2QwL1JlZ3VsYXJfcG9seWdvbl8xNV9hbm5vdGF0ZWQuc3ZnLzIyMHB4LVJlZ3VsYXJfcG9seWdvbl8xNV9hbm5vdGF0ZWQuc3ZnLnBuZw==.png)
Un pentadecágono regular es el polígono que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus (ángulos internos) (iguales). Cada ángulo interno del pentadecágono regular mide 156º o rad. Cada (ángulo externo) del pentadecágono regular mide 24º o
rad.
Al multiplicar la longitud t de un lado de un pentadecágono regular por quince (el número de lados n del polígono) obtendremos la longitud de su (perímetro) P.
El área A de un pentadecágono regular de lado t es de la siguiente forma:
donde es la constante pi y
es la función (tangente) (con el argumento en radianes).
Si se conoce la longitud de la (apotema) a del polígono, otra alternativa para calcular el área es:
Construcción
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- Construcciones de un pentadecágono
Como 15 = 3 × 5, un producto de distintos (números de Fermat), un pentadecágono regular es (construible) usando (regla y compás).
Las siguientes construcciones de pentadecágonos regulares con circuncírculo dado son similares a la ilustración de la proposición XVI en el Libro IV de los Elementos de Euclides.[2]
Compárese la construcción según Euclides en esta imagen: Pentadecágono
- Construcción de un pentadecágono inscrito en una circunferencia dada
En la construcción a partir de un círculo circunscrito dado: es un lado de un triángulo equilátero y
es un lado de un pentágono regular.[3] El punto
divide el radio
según la relación del (número áureo):
En comparación con la primera animación (con líneas verdes), en las dos imágenes siguientes se muestran los dos arcos circulares (para ángulos de 36° y 24°) rotados 90° en sentido antihorario. No utilizan el segmento , sino que utilizan el segmento
como radio
para el segundo arco circular (ángulo 36°).
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- Construcción de un pentadecágono de lado conocido
Construcción de compás y regla para una longitud de lado determinada. La construcción es casi igual a la del (pentágono) de lado conocido. La presentación se logra mediante la extensión de un lado y se genera un segmento, aquí que se divide según la proporción áurea:
Circunradio Longitud lateral
Ángulo
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![image](https://www.wiki3.es-es.nina.az/image/aHR0cHM6Ly91cGxvYWQud2lraW1lZGlhLm9yZy93aWtpcGVkaWEvY29tbW9ucy90aHVtYi8yLzJmLzAxLUYlQzMlQkNuZnplaG5lY2tTZWl0ZS1BbmltYXRpb24uZ2lmLzM1MHB4LTAxLUYlQzMlQkNuZnplaG5lY2tTZWl0ZS1BbmltYXRpb24uZ2lm.gif)
Simetría
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El "pentadecágono regular" posee (simetría diedral) Dih15 de orden 30, representado por 15 ejes de simetría. El grupo Dih15 incluye 3 subgrupos diedrales: Dih5, Dih3 y Dih1, y cuatro simetrías (cíclicas) más: Z15, Z5, Z3 y Z1, con Zn representando la simetría rotacional de π/n radianes.En el pentadecágono se pueden dar 8 tipos de simetrías distintas.
(John Conway) clasificó estas simetrías usando una letra y el orden de la simetría a continuación. Asignó la letra r al grupo de simetría de la figura regular; y en el caso de los subgrupos utilizó la letra d (de diagonal) para las figuras con ejes de simetría solo a través de sus vértices; p para figuras con ejes de simetría solo a través de ejes perpendiculares a sus lados; i para figuras con ejes de simetría tanto a través de vértices como a través de centros de lados; y g para aquellas figuras solo con simetría rotacional. Con a1 se etiquetan aquellas figuras con ausencia de simetría.
Los tipos de simetrías más bajos permiten disponer de uno o más grados de libertad para definir distintas figuras irregulares.[4] Solo el subgrupo g15 no tiene grados de libertad, pero puede verse como un (grafo dirigido). (Véase un ejemplo en la )
Pentadecagramas
Hay tres (estrellas) regulares: {15/2}, {15/4} y {15/7}, construidas a partir de los mismos 15 vértices de un pentadecágono regular, pero conectados saltando cada segundo, cuarto o séptimo vértice respectivamente.
También hay otras tres estrellas regulares no continuas: {15/3}, {15/5} y {15/6}, la primera compuesta por tres (pentágonos), la segunda por cinco (triángulos equiláteros) y la tercera formada por tres (estrellas pentagonales) .
La figura compuesta {15/3} puede verse vagamente como el equivalente bidimensional de una figura tridimensional, el (compuesto de cinco tetraedros).
Imagen | ![]() {15/2} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {15/3} or 3{5} | ![]() {15/4} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() {15/5} or 5{3} | ![]() {15/6} or 3{5/2} | ![]() {15/7} ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
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132° | 108° | 84° | 60° | 36° | 12° |
Los truncamientos más profundos del pentadecágono regular y los pentadecagramas pueden producir formas poligonales de estrellas intermedias isogonales ((figura isogonal)) con vértices espaciados iguales y dos longitudes de lado.[5]
Truncamientos transitivos de vértice del pentadecágono | ||||||||
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Cuasirregular | Isogonal | Cuasirregular | ||||||
![]() t{15/2}={30/2} | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() t{15/13}={30/13} |
![]() t{15/7} = {30/7} | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() t{15/8}={30/8} |
![]() t{15/11}={30/22} | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() t{15/4}={30/4} |
Polígonos de Petrie
El pentadecágono regular es el (polígono de Petrie) para algunos politopos de mayor dimensión, mediante un (operador de proyección) oblicuo:
![]() (Símplex) (14D) |
Véase también
- Construcción del pentadecágono en una longitud lateral determinada, ejemplificación: circunradius
Referencias
- Real Academia Española. «Pentadecágono». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). 1. adj. Geom. Dicho de un polígono: Que tiene quince ángulos y quince lados. U. m. c. s. m.
- Dunham, William (1991). Journey through Genius - The Great Theorems of Mathematics. Penguin. p. 65. Consultado el 12 de noviembre de 2015 – via the University of Kentucky College of Arts & Sciences Mathematics.
- Kepler, Johannes, translated and initiated by MAX CASPAR 1939. WELT-HARMONIK (en alemán). p. 44. Consultado el 7 de diciembre de 2015 – via Google Books. Retrieved on June 5, 2017
- John H. Conway, Heidi Burgiel, , (2008) The Symmetries of Things, ISBN (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)
- The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons, (Branko Grünbaum)
Enlaces externos
Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre pentadecágonos.
- (Weisstein, Eric W). «Pentadecagon». En Weisstein, Eric W, ed. (MathWorld) (en inglés). (Wolfram Research).
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