En teoría de conjuntos, una relación bien fundada sobre una clase X es una relación binariaR sobre X tal que todo subconjunto no vacío de X tiene un elemento R-mínimo; esto es:
Para todo subconjunto no vacío S de X, hay un elemento m en S tal que ningún s en S cumple sRm.
Equivalentemente, si asumimos el axioma de elección, una relación es bien fundada si y sólo si Xno contiene cadenas descendientes infinitas numerables: esto es, no hay secuencia infinita x0, x1, x2, ... de elementos de X tal que xn+1R xn para todo número natural n.[1]
En la teoría del orden, un orden parcial es llamado bien fundado si el orden estricto correspondiente es una relación bien fundada. Si el orden bien fundado es un orden total entonces es un buen orden.
Entre las relaciones bien fundadas que no son totalmente ordenadas están:
Los números naturales {1, 2, 3, ...}, con el orden definido por a < b si y solamente si b es dividido por a y a ≠ b.
El conjunto de todas las cadenas finitas de un alfabeto fijado, con el orden definido por s < t si y solamente si s es una subcadena estricta de t.
El conjunto N × N de pares de números naturales, ordenados por (n1, n2) < (m1, m2) si y solamente si n1 < m1 y n2 < m2.
El conjunto de todas las expresiones regulares de un alfabeto fijado, con el orden definido por s < t si y solamente si s es una subexpresión estricta de t.
Cualquier clase con conjuntos como elementos, con la relación ("es un elemento de"). Esto es el axioma de regularidad.
Ejemplos de relaciones que no son bien fundadas son:
Los números negativos {-1, -2, -3, …}, con el orden usual, ya que cualquier subconjunto no acotado no tiene un elemento mínimo.
El conjunto de las cadenas de un alfabeto finito con más de un elemento, con el orden lexicográfico, ya que la secuencia "B" > "AB" > "AAB" > "AAAB" > … es un infinita y descendente.
Los números racionales (o los reales) con el orden usual, ya que, por ejemplo, el conjunto de los racionales (o reales) positivos carece de mínimo.
relación, bien, fundada, teoría, conjuntos, relación, bien, fundada, sobre, clase, relación, binaria, sobre, todo, subconjunto, vacío, tiene, elemento, mínimo, esto, para, todo, subconjunto, vacío, elemento, ningún, cumple, equivalentemente, asumimos, axioma, . En teoria de conjuntos una relacion bien fundada sobre una clase X es una relacion binaria R sobre X tal que todo subconjunto no vacio de X tiene un elemento R minimo esto es Para todo subconjunto no vacio S de X hay un elemento m en S tal que ningun s en S cumple sRm Equivalentemente si asumimos el axioma de eleccion una relacion es bien fundada si y solo si X no contiene cadenas descendientes infinitas numerables esto es no hay secuencia infinita x0 x1 x2 de elementos de X tal que xn 1R xn para todo numero natural n 1 En la teoria del orden un orden parcial es llamado bien fundado si el orden estricto correspondiente es una relacion bien fundada Si el orden bien fundado es un orden total entonces es un buen orden Un conjunto X se dice regular si la relacion de pertenencia esta bien fundada en la clausura transitiva de X ct X Esto implica que no existen dentro de X conjuntos del tipo A A A En teoria axiomatica de conjuntos el axioma de regularidad afirma que todos los conjuntos son regulares Indice 1 Ejemplos 2 Vease tambien 2 1 Esquema de temas relacionados 3 Referencias 4 Enlaces externosEjemplos EditarEntre las relaciones bien fundadas que no son totalmente ordenadas estan Los numeros naturales 1 2 3 con el orden definido por a lt b si y solamente si b es dividido por a y a b El conjunto de todas las cadenas finitas de un alfabeto fijado con el orden definido por s lt t si y solamente si s es una subcadena estricta de t El conjunto N N de pares de numeros naturales ordenados por n1 n2 lt m1 m2 si y solamente si n1 lt m1 y n2 lt m2 El conjunto de todas las expresiones regulares de un alfabeto fijado con el orden definido por s lt t si y solamente si s es una subexpresion estricta de t Cualquier clase con conjuntos como elementos con la relacion displaystyle in es un elemento de Esto es el axioma de regularidad Ejemplos de relaciones que no son bien fundadas son Los numeros negativos 1 2 3 con el orden usual ya que cualquier subconjunto no acotado no tiene un elemento minimo El conjunto de las cadenas de un alfabeto finito con mas de un elemento con el orden lexicografico ya que la secuencia B gt AB gt AAB gt AAAB gt es un infinita y descendente Los numeros racionales o los reales con el orden usual ya que por ejemplo el conjunto de los racionales o reales positivos carece de minimo Vease tambien EditarPropiedades de las relacion binaria homogenea Relacion reflexiva Relacion simetrica Relacion transitiva Relacion total Relacion bien fundadaRelacion irreflexiva Relacion antisimetrica Relacion intransitiva AcotadoEsquema de temas relacionados Editar Teoria del ordenBien ordenado Orden total Parcialmente ordenado Preordenado ConjuntoRelacion binariaRelacion reflexivaRelacion transitivaRelacion antisimetricaRelacion totalRelacion bien fundadaReferencias Editar Lo segundo no implica lo primero si no asumimos el axioma de eleccion Enlaces externos EditarEsta obra contiene una traduccion derivada de Well founded relation de Wikipedia en ingles publicada por sus editores bajo la Licencia de documentacion libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribucion CompartirIgual 3 0 Unported Datos Q338021 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Relacion bien fundada amp oldid 139613643, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
