Número semientero

En matemáticas, un número semientero es un número definido de la forma

${\displaystyle n+{1 \over 2}}$,

donde ${\displaystyle n}$ es entero. Por ejemplo: 4½, 7/2, -13/2 y 8,5 son números semienteros.

Los semienteros ocurren con bastante frecuencia en contextos matemáticos para los cuales un término especial es conveniente. Nótese que la mitad de un entero no es siempre un semientero: la mitad de un entero par es un entero pero no un semientero. Los semienteros son precisamente esos números que son la mitad de un entero impar, y por esta razón también son llamados impares semienteros. Los semienteros son un caso especial de los racionales diádicos, números que pueden ser formados dividiendo un entero sobre una potencia de dos.^[1]​

Notación y estructuras algebraicas

El conjunto de todos los semienteros es comúnmente denotado como

${\displaystyle \mathbb {Z} +{1 \over 2}.}$ 

Los enteros y semienteros juntos forman un grupo bajo la operación de la suma, la cual puede ser denotada como^[2]​

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} .}$ 

Sin embargo, estos números no forman un anillo ya que el producto de dos semienteros no puede ser un semientero.^[3]​

Usos

Empaquetamiento de esferas

El empaquetamiento más denso de esferas unitarias en cuatro dimensiones, llamada red D₄, coloca una esfera en cada punto cuyas coordenadas sean todas enteras o semienteras. Este empaquetamiento esta estrechamente relacionado con los enteros de Hurwitz, los cuales son cuaterniones cuyos coeficientes reales son todos enteros semienteros.^[4]​

Física

En física, el principio de exclusión de Pauli es el resultado de la definición de los fermiones como partículas que tienen espines los cuales son semienteros.^[5]​

El nivel energético del oscilador armónico cuántico ocurren a semienteros y, por lo tanto, su nivel más bajo de energía no es cero.^[6]​

Volumen de una esfera

Aunque la función Factorial está definida solo por argumentos enteros, puede ser extendida a argumentos fraccionales utilizando la función gamma. La función gamma para semienteros es una parte importante de la fórmula para el volumen de una bola de dimensión ${\displaystyle n}$  de radio ${\displaystyle R}$ ,^[7]​

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}.}$ 

Los valores de la función gamma en semienteros son múltiplos enteros de la raíz cuadrada de π:

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}}$ 

donde ${\displaystyle n!!}$  denota el doble factorial.

Referencias

1. Sabin, Malcolm (2010). Analysis and Design of Univariate Subdivision Schemes. Geometry and Computing (en inglés) 6. Springer. p. 51. ISBN 978-3-642-13648-1. ISSN 1866-6795. 
2. Turaev, Vladimir G. (2010). Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds. De Gruyter Studies in Mathematics (en inglés) 18 (2da edición). De Gruyter. p. 390. ISBN 978-3-110-22183-1. ISSN 0179-0986. 
3. Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). Computability and Logic (en inglés). Cambridge University Press. p. 105. ISBN 978-0-521-00758-0. 
4. Baez, John (2005). «On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry by John H. Conway and Derek A. Smith». Bulletin of the American Mathematical Society (en inglés) (AMS) 42: 229-243. ISSN 0273-0979. doi:10.1090/S0273-0979-05-01043-8. 
5. Mészáros, Peter (2010). The High Energy Universe: Ultra-High Energy Events in Astrophysics and Cosmology (en inglés). Cambridge University Press. p. 13. ISBN 978-0-521-51700-3. 
6. Fox, Mark (2006). «Quantum Optics: An Introduction». Oxford University Press. Oxford Master Series in Physics (en inglés) 6. p. 131. ISBN 978-0-191-52425-7. 
7. «5.19.4: ${\displaystyle n}$ -Dimensional Sphere». Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas (en inglés). NIST. 6 de mayo de 2013. 

•   Datos: Q743139
•   Multimedia: Half-integer numbers