Un número de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el que formuló e investigó estos números, es un número natural de la forma:
donde n es natural. De particular interés son los números primos de Fermat.
Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma
con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4) lo son), pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:
4294967297 es el número más pequeño que, siendo número de Fermat, no es primo.
Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se conocían en tiempos del propio Fermat, y, a fecha de enero de 2009 sólo se conoce la factorización completa de los doce primeros números de Fermat (desde n=0 hasta n=11). Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:
¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?
¿Existen infinitos primos de Fermat?
Algunos números de Fermat y su factorización
Los nueve primeros números de Fermat son los siguientes:
Un número de Fermat es igual al producto de todos los anteriores más 2. Esto se puede demostrar por inducción como sigue:
Si n=1, es verdad: F1 = F0 + 2 (5 = 3 + 2).
Si se cumple para k igual a n-1, se cumple para n:
Corolario de la propiedad anterior: Ningún número de Fermat puede ser la suma de dos números primos. Como todos los números de Fermat son impares, uno de los sumandos debe ser 2. Entonces, el otro tendrá que ser, o bien 1 (en el caso de F0 = 3) o bien el producto de todos los anteriores... pero precisamente al ser un producto de números naturales no puede ser primo.
Dos números de Fermat distintos siempre son primos entre sí (es decir, no tienen ningún factor común). Se sabe que Fn = F0·F1·...·Fn-1 + 2. Como todos los números de Fermat son impares (y por tanto 2 no puede ser un factor común), se concluye que Fn no es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat. Un corolario de esto es una demostración de la infinitud de los números primos (ver artículo).
Carl Friedrich Gauss demostró que existe una relación entre la construcción de polígonos regulares con regla y compás y los números primos de Fermat: un polígono regular de n lados puede ser construido con regla y compás si y sólo si n es, o bien una potencia de 2, o bien el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos entre sí.
Todo número compuesto de Fermat se puede descomponer en factores primos de la forma k·2n+2 + 1, con k entero positivo.
La representación hexadecimal de un número de Fermat mayor es especialmente sencilla: para cada n mayor o igual que 2, Fn = 10...01hex, donde hay 2n-2 - 1 ceros.
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