Matriz nilpotente

En álgebra lineal, una matriz ${\displaystyle N\in M_{n.n}(K)}$ se dice que es nilpotente si existe ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle N^{k}=0\,}$. Se llama índice de nilpotencia o se dice que ${\displaystyle N}$ es de índice (o de orden) ${\displaystyle k}$ y se define como ${\displaystyle min\{k\in \mathbb {N} /N^{k}=0\}}$.

Teorema

Si ${\displaystyle A\,}$  es una matriz nilpotente, entonces su determinante es cero. Que el determinante sea cero es una condición necesaria para ser una matriz nilpotente, aunque no es una condición suficiente.

Demostración

Si A es una matriz nilpotente de orden k, se sigue que ${\displaystyle A^{k}=0\,}$ . Por lo tanto, ${\displaystyle \det(A^{k})=0\,}$ . Luego, ${\displaystyle \det(A)^{k}=0\,}$  por lo que ${\displaystyle \det(A)=0\,}$ .

El recíproco no es cierto; por ejemplo, la matriz

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}}$ 

tiene determinante igual a cero, pero no es nilpotente. Una condición necesaria y suficiente es que la matriz no tenga autovalores diferentes de cero, en ese caso la matriz es nilpotente.

Ejemplos

La matriz

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$ 

es nilpotente, ya que M² = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con ceros a lo largo de la diagonal principal es nilpotente. Por ejemplo, la matriz

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$ 

es nilpotente, con

${\displaystyle N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$ 

Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de ceros en las entradas, no todas las matrices nilpotentes lo tienen. Por ejemplo, las matrices

${\displaystyle {\begin{bmatrix}6&-9\\4&-6\end{bmatrix}}\qquad {\text{y}}\qquad {\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}}$ 

ambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.

Propiedades adicionales

• Si N es nilpotente, entonces I + N es invertible, donde I es la matriz identidad de orden n (n × n). El inverso viene dado por:

${\displaystyle (I+N)^{-1}=I-N+N^{2}-N^{3}+\cdots ,}$ 

donde sólo un número finito de términos del desarrollo anterior es diferente de cero.

• Si N es nilpotente, entonces

${\displaystyle \det(I+N)=1,\!\,}$ 

donde I es de nuevo la matriz identidad de orden n. Recíprocamente, si A es una matriz y

${\displaystyle \det(I+tA)=1\!\,}$ 

para todos los valores de t, entonces A es nilpotente.

• Toda matriz singular (con determinante nulo) puede escribirse como producto de matrices nilpotentes.^[1]​

Generalizaciones

Un operador lineal T es localmente nilpotente si para todo vector v, existe un k tal que

${\displaystyle T^{k}(v)=0.\!\,}$ 

Para operadores sobre espacios vectoriales de dimensión finita, la nilpotencia local equivale a la nilpotencia convencional.

Referencias

1. R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3

• y transformación nilpotente en PlanetMath. (en inglés)

•   Datos: Q650670