Mariposa de Hofstadter

En física de la materia condensada, la mariposa de Hofstadter se refiere a las propiedades del espectro de energía de electrones en una red cristalina en presencia de un campo magnético. La figura, que presenta autosimilitud y comportamiento fractal, fue descubierta por Douglas Hofstadter en 1976.^[1]​

La mariposa de Hofstadter jugó un rol histórico esencial en la teoría del efecto Hall cuántico y de la topología cuántica.

Teoría

 

Mariposa de Hofstadter. Este fractal aparece cuando se gráfica la energía de los electrones en una malla bidimensional en función del flujo magnético a través de una celda de la malla.

Hofstadter en su estudio de electrones sin interacción en una malla cuadrada de constante ${\displaystyle a}$ , consideró la relación de dispersión en un modelo de enlace fuertes, tal que

${\displaystyle E(\mathbf {k} )=E_{0}(\cos k_{x}a+\cos k_{y}a),}$ 

donde ${\displaystyle E(\mathbf {k} )}$  es la energía, ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y})}$  es el vector de onda asociado a la malla, y ${\displaystyle E_{0}}$  un parámetro empírico. Bajo influencia de un campo magnético homogéneo y constante ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$ , donde ${\displaystyle \mathbf {A} }$  es el potencial vectorial electromagnético, uno puede introducir un cambio en la energía haciendo la sustitución siguiente: ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} \to \mathbf {p} -q\mathbf {A} }$ , donde ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{x},p_{y})}$  es el operador cantidad de movimiento y ${\displaystyle q=-e}$  es la carga del electrón. Por conveniencia Hofstadter escoge el gauge ${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$ .

La ecuación de Schrödinger resultante, luego de considerar efectos de simetría y de traslación es la siguiente:

${\displaystyle g_{n}+g_{n-1}+2\cos(2\pi n\alpha -\nu )g_{n}=\epsilon g_{n},}$ 

donde ${\displaystyle \epsilon =2E/E_{0}}$  y ${\displaystyle \alpha =\phi (B)/\phi _{0}}$  , donde ${\displaystyle \phi (B)=Ba^{2}}$  es proporcional al flujo magnético a través de una celda de la malla y ${\displaystyle \phi _{0}=2\pi \hbar /q}$  es el cuanta del flujo magnético. La función de onda del electrón esta dada por ${\displaystyle \psi (x,y)=\psi (na,ma)=g_{n}e^{i\nu m}}$ , donde ${\displaystyle n,m}$  son número enteros.

Esta última relación de recurrencia, se conoce como la ecuación de Harper. La mariposa de Hofstadter representa las solución gráfica de los posibles valores de ${\displaystyle \epsilon }$  en función del flujo ${\displaystyle \alpha }$ .^[1]​

Confirmaciones experimentales

Christian Albrecht, Klaus von Klitzing y colaboradores realizaron una ejecución experimental en 2001 de la mariposa de Hofstadter. Lograron comprobar la predicción de David J. Thouless y de sus colaboradores que indicaba que la conductancia eléctrica debe estar cuantificada (ver efecto Hall cuántico).^[2]​

Dos equipos independientes demostraron el patrón de mariposa de Hofstadter en muestras de grafeno en 2013.^[3]​

En 2017, equipos académicos en colaboración con Google, demostraron la predicción de Hofstadter en simuladores cuánticos en cúbits superconductores.^[4]​

Referencias

1. Hofstadter, Douglas R. (15 de septiembre de 1976). «Energy levels and wave functions of Bloch electrons in rational and irrational magnetic fields». Physical Review B (en inglés) 14 (6): 2239-2249. doi:10.1103/PhysRevB.14.2239. Consultado el 23 de septiembre de 2020. 
2. Albrecht, C.; Smet, J. H.; von Klitzing, K.; Weiss, D.; Umansky, V.; Schweizer, H. (1 de enero de 2001). «Evidence of Hofstadter's Fractal Energy Spectrum in the Quantized Hall Conductance». Physical Review Letters (en inglés) 86 (1): 147-150. ISSN 0031-9007. doi:10.1103/PhysRevLett.86.147. Consultado el 24 de septiembre de 2020. 
3. «Un curioso déjà vu: La mariposa de Hofstadter observada en Nature y en Science». La Ciencia de la Mula Francis. 25 de junio de 2013. Consultado el 23 de septiembre de 2020. 
4. «Patrones fractales de mariposa emergen de simulaciones cuánticas». EuropaPress. 1 de diciembre de 2017. Consultado el 23 de septiembre de 2020. 

•   Datos: Q2913166
•   Multimedia: Hofstadter's butterfly / Q2913166