Ley de tricotomía

En matemáticas, la ley de tricotomía dice que cada número real es mayor, igual o menor a otro número real.^[1]​ Generalmente hablando, la tricotomía es la propiedad de una teoría del orden ${\displaystyle <}$ en un conjunto ${\displaystyle X}$ que para cada ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, se tiene una sola de las siguientes relaciones: ${\displaystyle x<y,x=y}$, o ${\displaystyle x>y}$.

En notación matemática, esto es

${\displaystyle \forall x\in X\,\forall y\in X\,((x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y)\,)\lor \,(\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)\,)\lor \,(\lnot (x<y)\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,x=y\,\,))\,.}$

Asumiendo que el orden es irreflexivo y transitivo, esto puede ser simplificado a

${\displaystyle \forall x\in X\,\forall y\in X\,((x<y)\,\lor \,(y<x)\,\lor \,(x=y))\,.}$

En lógica clásica, este axioma de tricotomía se utiliza para comparaciones ordinarias entre números reales y, por lo tanto, también para comparaciones entre enteros y entre racionales. La ley generalmente no se utiliza en lógica intuicionista.

En los axiomas de Zermelo-Fraenkel y la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, la ley de tricotomía se utiliza entre los cardinales de conjuntos bien ordenados incluso sin el axioma de elección. Si se utiliza el axioma de elección, entonces la tricotomía se utiliza entre cardinales arbitrarios (porque en ese caso todos están bien ordenados).^[2]​

Más generalmente, una relación binaria ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle X}$ es 'tricotómica si para cada ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ en ${\displaystyle X}$ existe exactamente la relación ${\displaystyle xRy}$, ${\displaystyle yRx}$ o ${\displaystyle x=y}$. Si tal relación es también transitiva, es un orden total estricto; este es un caso especial de un preorden total débil. Por ejemplo, en el caso de un conjunto de tres elementos ${\displaystyle \{a,b,c\}}$, la relación ${\displaystyle R}$ dada por ${\displaystyle aRb}$, ${\displaystyle aRc}$ o ${\displaystyle bRc}$ es un orden total estricto, mientras que la relación ${\displaystyle R}$ dada por el cíclico ${\displaystyle aRb}$, ${\displaystyle bRc}$ o ${\displaystyle cRa}$ es una relación tricotómica no transitiva.

En la definición de un dominio integral ordenado, o campo ordenado, la ley de tricotomía es usualmente tomada como más fundacionalo que la ley de orden total.

Una relación tricotómica no puede ser reflexiva, ya que ${\displaystyle xRx}$ debe ser falsa. Si una relación tricotómica es transitiva, la misma es trivialmente antisimétrica y también asimétrica, ya que no se pueden sostener juntos ${\displaystyle xRy}$ y ${\displaystyle yRx}$.

Referencias

1. Apostol, Tom L. (1967). One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra (en inglés) (2a edición). John Wiley and Sons Inc. pp. 20. ISBN 0 471 00005 1. (requiere registro). 
2. Bernays, Paul (1991). Axiomatic Set Theory (en inglés). Dover Publications. ISBN 0-486-66637-9. 

Véase también

• Dicotomía
• Principio de no contradicción
• Principio del tercero excluido

•   Datos: Q2713184