Lema del número de Lebesgue

En topología, el lema del número de Lebesgue, nombrado así por Henri Lebesgue, es una herramienta útil en el estudio de espacios métricos compactos.^[1]​ Declara:

Si el espacio métrico ${\displaystyle (X,d)}$ es compacto y una cubierta abierta de ${\displaystyle X}$ está dada, entonces existe un número ${\displaystyle \delta >0}$ tal que cada subconjunto de ${\displaystyle X}$ con un diámetro menor a ${\displaystyle \delta }$, está contenido en algún miembro de la cubierta.

Tal número ${\displaystyle \delta }$ es llamado un número de Lebesgue de esta cubierta. La idea de un número de Lebesgue es útil en otras aplicaciones también.

Demostración

Sea ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$  una cubierta abierta de ${\displaystyle X}$ . Dado que ${\displaystyle X}$  es compacto podemos extraer un subcubierta finita ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{n}\}\subseteq {\mathcal {U}}}$  . Si cualquier conjunto ${\displaystyle A_{i}}$  equivale a ${\displaystyle X}$  entonces cualquier ${\displaystyle \delta >0}$  servirá como número de Lebesgue. En caso contrario para cada ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ , sea ${\displaystyle C_{i}:=X\setminus A_{i}}$ , observemos que ${\displaystyle C_{i}}$  no está vacío, y definamos una función ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$  como ${\displaystyle f(x):={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_{i})}$ .

Dado que ${\displaystyle f}$  es continua en un conjunto compacto, alcanza un ${\displaystyle \delta }$  mínima. La observación clave es que, dado que cada ${\displaystyle x}$  está contenido en algún ${\displaystyle A_{i}}$ , el teorema de Weierstrass muestra que ${\displaystyle \delta >0}$ . Ahora podemos verificar que esta ${\displaystyle \delta }$  es el número de Lebesgue deseado. Si ${\displaystyle Y}$  es un subconjunto de ${\displaystyle X}$  con un diámetro menor a ${\displaystyle \delta }$ , entonces existe ${\displaystyle x_{0}\in X}$  tal que ${\displaystyle Y\subseteq B_{\delta }(x_{0})}$ , donde ${\displaystyle B_{\delta }(x_{0})}$  denota la bola de radio ${\displaystyle \delta }$  con centro en ${\displaystyle x_{0}}$  (concretamente, uno puede escoger para ${\displaystyle x_{0}}$  cualquier punto en ${\displaystyle Y}$ ). Dado que ${\displaystyle f(x_{0})\geq \delta }$  tiene que existir al menos un ${\displaystyle i}$  tal que ${\displaystyle d(x_{0},C_{i})\geq \delta }$ . Esto implica que ${\displaystyle B_{\delta }(x_{0})\subseteq A_{i}}$ , en particular, ${\displaystyle Y\subseteq A_{i}}$ .

Referencias

1. Munkres, James R. (1974). Topology: A first course. p. 179. ISBN 978-0-13-925495-6. 

•   Datos: Q1049869