Una demostración formal del lema consiste en tomar el límite de una secuencia de variables aleatorias. Esta aproximación no es presentada aquí pues involucra un gran número de detalles técnicos. En cambio, damos un bosquejo de cómo uno puede obtener el lema de Itô expandiendo una serie de Taylor y aplicando las reglas de cálculo estocástico.
En el límite , los términos y tienden a cero más rápido que , que es . Haciendo los términos y cero, reemplazando por (por la variación cuadrática del Wiener proceso) y juntando los términos y , obtenemos
El lema de Itô puede ser utilizado para obtener la ecuación de Black–Scholes para una opción.[1] Suponga que un precio accionario sigue un movimiento browniano geométrico dado por la ecuación diferencial estocástica , si el valor de la opción al tiempo es entonces por el lema de Itô
Malliaris, A. G. (1982). Stochastic Methods in Economics and Finance. New York: North-Holland. pp. 220-223. ISBN0-444-86201-3.
Bibliografía
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Datos:Q1151100
Octubre 22, 2021
lema, itô, matemáticas, lema, itô, identidad, utilizada, cálculo, itô, para, encontrar, diferencial, función, temporal, dependiente, proceso, estocástico, versión, estocástica, regla, cadena, cálculo, diferencial, usual, lema, ampliamente, utilizado, matemátic. En matematicas el lema de Ito es una identidad utilizada en calculo de Ito para encontrar la diferencial de una funcion temporal dependiente de un proceso estocastico Es una version estocastica de la regla de la cadena del calculo diferencial usual El lema es ampliamente utilizado en matematicas financieras y su aplicacion mas conocida es para obtener la ecuacion de Black Scholes Indice 1 Demostracion informal 2 Ejemplos 2 1 Movimiento browniano geometrico 2 2 Formula de Black Scholes 3 Vease tambien 4 Referencias 5 BibliografiaDemostracion informal EditarUna demostracion formal del lema consiste en tomar el limite de una secuencia de variables aleatorias Esta aproximacion no es presentada aqui pues involucra un gran numero de detalles tecnicos En cambio damos un bosquejo de como uno puede obtener el lema de Ito expandiendo una serie de Taylor y aplicando las reglas de calculo estocastico Suponga que X t displaystyle X t es un proceso de Ito con drift que satisface la ecuacion diferencial estocastica d X t m t d t s t d B t displaystyle dX t mu t dt sigma t dB t donde B t displaystyle B t es un movimiento browniano Si f t x displaystyle f t x es una funcion escalar dos veces diferenciable su expansion en un serie de Taylor es d f f t d t f x d x 1 2 2 f x 2 d x 2 displaystyle df frac partial f partial t dt frac partial f partial x dx frac 1 2 frac partial 2 f partial x 2 dx 2 cdots Sustituyendo X t displaystyle X t para x displaystyle x y m t d t s t d B t displaystyle mu t dt sigma t dB t por d x displaystyle dx obtenemos d f f t d t f x m t d t s t d B t 1 2 2 f x 2 m t 2 d t 2 2 m t s t d t d B t s t 2 d B t 2 displaystyle df frac partial f partial t dt frac partial f partial x mu t dt sigma t dB t frac 1 2 frac partial 2 f partial x 2 left mu t 2 dt 2 2 mu t sigma t dt dB t sigma t 2 dB t 2 right cdots En el limite d t 0 displaystyle dt to 0 los terminos d t 2 displaystyle dt 2 y d t d B t displaystyle dtdB t tienden a cero mas rapido que d B 2 displaystyle dB 2 que es O d t displaystyle O dt Haciendo los terminos d t 2 displaystyle dt 2 y d t d B t displaystyle dtdB t cero reemplazando d t displaystyle dt por d B 2 displaystyle dB 2 por la variacion cuadratica del Wiener proceso y juntando los terminos d t displaystyle dt y d B displaystyle dB obtenemos d f f t m t f x s t 2 2 2 f x 2 d t s t f x d B t displaystyle df left frac partial f partial t mu t frac partial f partial x frac sigma t 2 2 frac partial 2 f partial x 2 right dt sigma t frac partial f partial x dB t Ejemplos EditarMovimiento browniano geometrico Editar Un proceso S t displaystyle S t se dice que sigue un movimiento browniano geometrico con volatilidad constante s displaystyle sigma y drift constante m displaystyle mu si satisface la ecuacion diferencial estocastica d S t s S t d B t m S t d t displaystyle dS t sigma S t dB t mu S t dt siendo B t displaystyle B t un movimiento Browniano Aplicando el lema de Ito con f S t log S t displaystyle f S t log S t obtenemos d f S t f S t d S t 1 2 f S t d S t 2 1 S t d S t 1 2 S t 2 S t 2 s 2 d t 1 S t s S t d B t m S t d t 1 2 s 2 d t s d B t m s 2 2 d t displaystyle begin aligned df S t amp f prime S t dS t frac 1 2 f prime prime S t dS t 2 amp frac 1 S t dS t frac 1 2 S t 2 S t 2 sigma 2 dt amp frac 1 S t left sigma S t dB t mu S t dt right frac 1 2 sigma 2 dt amp sigma dB t left mu frac sigma 2 2 right dt end aligned esto es d log S t s d B t m s 2 2 d t displaystyle d left log S t right sigma dB t left mu frac sigma 2 2 right dt de lo anterior se sigue que log S t log S 0 s B t m s 2 2 t displaystyle log S t log S 0 sigma B t left mu frac sigma 2 2 right t que es equivalente a S t S 0 exp s B t m s 2 2 t displaystyle S t S 0 exp left sigma B t left mu frac sigma 2 2 right t right Formula de Black Scholes Editar El lema de Ito puede ser utilizado para obtener la ecuacion de Black Scholes para una opcion 1 Suponga que un precio accionario sigue un movimiento browniano geometrico dado por la ecuacion diferencial estocastica d S t s d B t m d t displaystyle dS t sigma dB t mu dt si el valor de la opcion al tiempo t displaystyle t es f t S t displaystyle f t S t entonces por el lema de Ito d f t S t f t 1 2 S t s 2 2 f S 2 d t f S d S t displaystyle df t S t left frac partial f partial t frac 1 2 left S t sigma right 2 frac partial 2 f partial S 2 right dt frac partial f partial S dS t Vease tambien EditarProceso de Wiener Calculo de ItoReferencias Editar Malliaris A G 1982 Stochastic Methods in Economics and Finance New York North Holland pp 220 223 ISBN 0 444 86201 3 Bibliografia EditarKiyosi Ito 1944 Integral estocastica Proc Imperial Acad Tokyo 20 519 524 Esto es el papel con el Ito Formula On line Kiyosi Ito 1951 En ecuaciones diferenciales estocasticas Memoirs Sociedad Matematica americana 4 1 51 On line Bernt Oksendal 2000 Ecuaciones Diferenciales estocasticas Una Introduccion con Aplicaciones 5 ª edicion corrigio 2 ª impresion Salmer ISBN 3 540 63720 6 Secciones 4 1 y 4 2 Philip E Protter 2005 Integracion estocastica y Ecuaciones Diferenciales 2 ª edicion Salmer ISBN 3 662 10061 4 Seccion 2 7 Datos Q1151100 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Lema de Ito amp oldid 137369267, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,