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Juegos en forma extensiva

Junio 16, 2022

Un juego en forma extensiva es una especificación de un juego en la teoría de juegos, que permite la representación explícita de una serie de aspectos importantes, como el orden de los movimientos posibles de los jugadores, sus decisiones en cada punto de decisión, la información (tal vez imperfecta) que cada jugador tiene del contrario cuando toma una decisión, y sus ganancias en todos los resultados posibles del juego. Los juegos en forma extensiva también permiten representar información incompleta de sucesos del azar modelados como "movimientos de la naturaleza".

Juegos finitos en forma extensiva

Algunos autores, especialmente en los textos introductorios, definen el juego inicialmente en forma extensiva, como un Árbol de juego con ganancias (sin información imperfecta o incompleta), y van añadiendo otros elementos en los capítulos posteriores como refinamientos. Mientras que el resto de este artículo sigue este enfoque con la motivación ejemplar, se presenta lo finito de los juegos en forma extensiva por adelantado, como (en última instancia) son construidos aquí. Esta definición general fue presentado por Harold W. Kuhn en 1953, que extendió una definición anterior de von Neumann de 1928. Después de la presentación de Sergiu Hart (1992),[1]​ un juego de n-jugadores en forma extensiva consiste en lo siguiente:

  • Un conjunto finito de n-jugadores (racionales)
  • Un árbol con raíz, llamado el árbol de juego
  • Cada terminal (hoja) nodo del árbol de juego tiene una n-tupla de pagos, es decir, hay una ganancia para cada jugador al final de cada juego posible
  • Una partición de los nodos no terminales del árbol de juego en n+1 subconjuntos, uno para cada jugador (racional), y con un subconjunto especial para un jugador ficticio llamado Chance (o la naturaleza). Cada jugador subconjunto de nodos que se conoce como los "nodos" del jugador. (Un juego de información completa, por lo tanto, tiene un conjunto vacío de nodos de azar.)
  • Cada nodo aleatorio de un jugador tiene una distribución de probabilidad sobre los resultados salientes.

Un juego es, por lo tanto, un camino a través del árbol desde la raíz hasta un nodo terminal. En cualquier nodo no terminal, dado que pertenece a Chance, una rama que se escoge de acuerdo con la distribución de probabilidad. En el nodo cualquier jugador racional, el jugador debe elegir una de las clases de equivalencia para los bordes, lo que determina precisamente un borde saliente excepto (en general) el jugador no sabe que se está siguiendo. (Un observador externo conoce las opciones de los demás jugadores hasta ese punto, y la realización de movimientos de la naturaleza, se puede determinar el límite exacto.) Una estrategia pura para un jugador consiste, pues, de una selección, eligiendo precisamente una clase de bordes salientes para cada información establecido (de él). En un juego de información perfecta, los conjuntos de información son únicos. Es menos evidente cómo los pagos deben ser interpretados en juegos con nodos de azar. Se supone que cada jugador tiene una von Neumann-Morgenstern función de utilidad definida para cada resultado del juego; este supuesto implica que cada jugador racional evaluará a priori un resultado de forma aleatoria por su esperada utilidad.

La presentación anterior, mientras que la definición precisa de la estructura matemática sobre la que se juega el juego, elude, sin embargo, la discusión más técnica de la formalización de declaraciones acerca de cómo se juega el juego como "un jugador no puede distinguir entre los nodos del conjunto de información misma hora de tomar una decisión". Estos se pueden hacer preciso utilizando la lógica modal epistémico, ver Shoham y Leyton-Brown (2009, cap 13.) para más detalles.

Información perfecta y completa

Una completa representación en forma extensiva específica:

  1. Los jugadores de un juego
  2. Para todos los jugadores de todas las oportunidades que tienen que moverse
  3. Lo que cada jugador puede hacer en cada uno de sus movimientos
  4. Lo que cada jugador sabe con cada movimiento
  5. Los pagos recibidos por cada jugador para cada combinación posible de movimientos

El juego de la derecha tiene dos jugadores: 1 y 2. Los números de cada nodo no terminal son para indicar a qué jugador le pertenece la decisión de jugar. Los números de cada nodo terminal representan los pagos a los jugadores (por ejemplo, 2,1 representa un pago de 2 al 1 jugador y un pago de 1 al jugador 2). Las etiquetas de cada borde de la gráfica son el nombre de la acción que representa ese borde.

El nodo inicial pertenece al jugador 1, lo que indica que el jugador 1 mueve primero. El juego según el árbol es el siguiente: El jugador 1 elige entre U y D; el jugador 2 observa la elección del jugador 1 y luego elige entre U 'y D'. Los beneficios son los especificados en el árbol. Hay cuatro resultados representados por los cuatro nodos terminales del árbol: (U, U '), (U, D'), (D, U ') y (D, D'). Los pagos asociados con cada resultado, respectivamente, son como sigue (0,0), (2,1), (1,2) y (3,1).

Si el jugador 1 juega D, el jugador 2 jugará U' para maximizar su rentabilidad y, por lo tanto, el jugador 1 solo recibirá 1. Sin embargo, si el jugador 1 juega U, el jugador 2 maximiza su recompensa por jugar D 'y el jugador 1 recibe 2. El jugador 1 prefiere 2 a 1 y así jugará U y el jugador 2 jugará D'. Este es un equilibrio perfecto en subjuegos.

 
Un juego representado en forma extensiva

Información imperfecta

Una ventaja de representar el juego de esta manera es que el orden del juego está claro. El árbol muestra claramente que el jugador 1 mueve primero y el jugador 2 observa este movimiento. Sin embargo, en algunos juegos del juego no ocurre así. Un jugador no siempre observa la elección del otro (por ejemplo, movimientos pueden ser simultáneos o un movimiento puede estar oculto). Un conjunto de información es un conjunto de nodos de decisión de tal manera que:

  1. Cada nodo del conjunto pertenece a uno de los jugadores.
  2. Cuando el juego llegue al conjunto de información, el jugador con el movimiento no puede diferenciar entre los nodos del conjunto de información, es decir, si el conjunto de datos contiene más de un nodo, el jugador al que pertenece ese grupo no sabe qué nodo en el conjunto se ha alcanzado.

En forma extensiva, un conjunto de información se indica mediante una línea de puntos que conecta todos los nodos que en conjunto o, a veces, por un bucle dibujado alrededor de todos los nodos en ese conjunto.

Si un juego tiene un conjunto de información con más de un miembro de ese partido se dice que tiene información imperfecta. Un juego con información perfecta es tal que en cualquier momento de la partida, cada jugador sabe exactamente lo que ha ocurrido antes en el juego, es decir, cada conjunto de información es un singleton set. Cualquier juego sin información perfecta tiene información imperfecta.

El juego de la izquierda es el mismo que el juego anterior, excepto que el jugador 2 no sabe lo que el jugador 1 hace cuando viene a jugar. El primer juego descrito tiene información perfecta, el juego de la izquierda no lo hace. Si ambos jugadores son racionales y ambos saben que ambos jugadores son racionales y todo lo que es conocido por cualquier jugador es conocido por ser conocido por todos los jugadores (es decir, el jugador 1 sabe que el jugador 2 sabe que el jugador 1 es racional y el jugador 2 sabe, etc ad infinitum), jugar el primer juego sería como sigue: el jugador 1 sabe que si juega U, el jugador 2 juega D '(porque para el jugador 2 es preferible a una ganancia de 0 un pago de 1) y lo que el jugador 1 recibirá 2. Sin embargo, si el jugador 1 juega D, el jugador 2 jugará U '(porque al jugador 2 una rentabilidad del 2 es mejor que un pago de 1), y el jugador 1 recibe 1. Por lo tanto, en el primer juego, el equilibrio será (U, D '), ya que el jugador 1 prefiere recibir 2 a 1 y así se reproducirá U y lo que el jugador 2 jugará D'.

El segundo juego no es tan claro: el jugador 2 no puede observar el movimiento del jugador 1. Jugador 1 quisiera engañar al jugador 2 en el pensamiento de que ha jugado U cuando en realidad ha jugado D para que el jugador 2 jugará D 'y el jugador 1 recibe 3. De hecho, en el segundo juego hay un equilibrio bayesiano perfecto donde el jugador 1 juega D y el jugador 2 juega U 'y el jugador 2 tiene la creencia de que el jugador 1 sin duda jugaría D. En este equilibrio, cada estrategia es racional dadas las creencias y todas las creencias son consistentes con las estrategias jugadas. Observe cómo la imperfección de la información cambia el resultado del juego.

Referencias

  1. Hart, Sergiu (1992). "Games in extensive and strategic forms". In Aumann, Robert; Hart, Sergiu. Handbook of Game Theory with Economic Applications 1. Elsevier. ISBN 978-0-444-88098-7.
  • Hart, Sergiu; Hart, Sergiu (1992). «Games in extensive and strategic forms». En Aumann, Robert, ed. Handbook of Game Theory with Economic Applications 1. Elsevier. ISBN 978-0-444-88098-7. 
  • Binmore, Kenneth (2007). Playing for real: a text on game theory. Oxford University Press US. ISBN 978-0-19-530057-4. 
  • Dresher M. (1961). The mathematics of games of strategy: theory and applications (Ch4: Games in extensive form, pp74–78). Rand Corp. ISBN 0-486-64216-X
  • Fudenberg D and Tirole J. (1991) Game theory (Ch3 Extensive form games, pp67–106). Mit press. ISBN 0-262-06141-4
  • Leyton-Brown, Kevin; Shoham, Yoav (2008), Essentials of Game Theory: A Concise, Multidisciplinary Introduction, San Rafael, CA: Morgan & Claypool Publishers, ISBN 978-1-59829-593-1 .. An 88-page mathematical introduction; see Chapters 4 and 5. Free online at many universities.
  • Luce R.D. and Raiffa H. (1957). Games and decisions: introduction and critical survey. (Ch3: Extensive and Normal Forms, pp39–55). Wiley New York. ISBN 0-486-65943-7
  • Osborne MJ and Rubinstein A. 1994. A course in game theory (Ch6 Extensive game with perfect information, pp. 89–115). MIT press. ISBN 0-262-65040-1
  • Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009), Multiagent Systems: Algorithmic, Game-Theoretic, and Logical Foundations, New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89943-7 .. A comprehensive reference from a computational perspective; see Chapter 5. Downloadable free online.

Bibliografía Ampliada

  • Horst Herrlich (2006). Axiom of choice. Springer. ISBN 978-3-540-30989-5. , 6.1, "Disasters in Game Theory" and 7.2 "Measurability (The Axiom of Determinateness)", discusses problems in extending the finite-case definition to infinite number of options (or moves)
  • Neumann, J. (1928). "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele". Mathematische Annalen 100: 295–320. doi:10.1007/BF01448847.
  • Harold William Kuhn (2003). Lectures on the theory of games. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02772-2.  contains Kuhn's lectures at Princeton from 1952 (officially unpublished previously, but in circulation as photocopies)
  •   Datos: Q656416

Junio 16, 2022
juegos, forma, extensiva, juego, forma, extensiva, especificación, juego, teoría, juegos, permite, representación, explícita, serie, aspectos, importantes, como, orden, movimientos, posibles, jugadores, decisiones, cada, punto, decisión, información, imperfect. Un juego en forma extensiva es una especificacion de un juego en la teoria de juegos que permite la representacion explicita de una serie de aspectos importantes como el orden de los movimientos posibles de los jugadores sus decisiones en cada punto de decision la informacion tal vez imperfecta que cada jugador tiene del contrario cuando toma una decision y sus ganancias en todos los resultados posibles del juego Los juegos en forma extensiva tambien permiten representar informacion incompleta de sucesos del azar modelados como movimientos de la naturaleza Indice 1 Juegos finitos en forma extensiva 2 Informacion perfecta y completa 3 Informacion imperfecta 4 Referencias 5 Bibliografia AmpliadaJuegos finitos en forma extensiva EditarAlgunos autores especialmente en los textos introductorios definen el juego inicialmente en forma extensiva como un Arbol de juego con ganancias sin informacion imperfecta o incompleta y van anadiendo otros elementos en los capitulos posteriores como refinamientos Mientras que el resto de este articulo sigue este enfoque con la motivacion ejemplar se presenta lo finito de los juegos en forma extensiva por adelantado como en ultima instancia son construidos aqui Esta definicion general fue presentado por Harold W Kuhn en 1953 que extendio una definicion anterior de von Neumann de 1928 Despues de la presentacion de Sergiu Hart 1992 1 un juego de n jugadores en forma extensiva consiste en lo siguiente Un conjunto finito de n jugadores racionales Un arbol con raiz llamado el arbol de juego Cada terminal hoja nodo del arbol de juego tiene una n tupla de pagos es decir hay una ganancia para cada jugador al final de cada juego posible Una particion de los nodos no terminales del arbol de juego en n 1 subconjuntos uno para cada jugador racional y con un subconjunto especial para un jugador ficticio llamado Chance o la naturaleza Cada jugador subconjunto de nodos que se conoce como los nodos del jugador Un juego de informacion completa por lo tanto tiene un conjunto vacio de nodos de azar Cada nodo aleatorio de un jugador tiene una distribucion de probabilidad sobre los resultados salientes Un juego es por lo tanto un camino a traves del arbol desde la raiz hasta un nodo terminal En cualquier nodo no terminal dado que pertenece a Chance una rama que se escoge de acuerdo con la distribucion de probabilidad En el nodo cualquier jugador racional el jugador debe elegir una de las clases de equivalencia para los bordes lo que determina precisamente un borde saliente excepto en general el jugador no sabe que se esta siguiendo Un observador externo conoce las opciones de los demas jugadores hasta ese punto y la realizacion de movimientos de la naturaleza se puede determinar el limite exacto Una estrategia pura para un jugador consiste pues de una seleccion eligiendo precisamente una clase de bordes salientes para cada informacion establecido de el En un juego de informacion perfecta los conjuntos de informacion son unicos Es menos evidente como los pagos deben ser interpretados en juegos con nodos de azar Se supone que cada jugador tiene una von Neumann Morgenstern funcion de utilidad definida para cada resultado del juego este supuesto implica que cada jugador racional evaluara a priori un resultado de forma aleatoria por su esperada utilidad La presentacion anterior mientras que la definicion precisa de la estructura matematica sobre la que se juega el juego elude sin embargo la discusion mas tecnica de la formalizacion de declaraciones acerca de como se juega el juego como un jugador no puede distinguir entre los nodos del conjunto de informacion misma hora de tomar una decision Estos se pueden hacer preciso utilizando la logica modal epistemico ver Shoham y Leyton Brown 2009 cap 13 para mas detalles Informacion perfecta y completa EditarUna completa representacion en forma extensiva especifica Los jugadores de un juego Para todos los jugadores de todas las oportunidades que tienen que moverse Lo que cada jugador puede hacer en cada uno de sus movimientos Lo que cada jugador sabe con cada movimiento Los pagos recibidos por cada jugador para cada combinacion posible de movimientosEl juego de la derecha tiene dos jugadores 1 y 2 Los numeros de cada nodo no terminal son para indicar a que jugador le pertenece la decision de jugar Los numeros de cada nodo terminal representan los pagos a los jugadores por ejemplo 2 1 representa un pago de 2 al 1 jugador y un pago de 1 al jugador 2 Las etiquetas de cada borde de la grafica son el nombre de la accion que representa ese borde El nodo inicial pertenece al jugador 1 lo que indica que el jugador 1 mueve primero El juego segun el arbol es el siguiente El jugador 1 elige entre U y D el jugador 2 observa la eleccion del jugador 1 y luego elige entre U y D Los beneficios son los especificados en el arbol Hay cuatro resultados representados por los cuatro nodos terminales del arbol U U U D D U y D D Los pagos asociados con cada resultado respectivamente son como sigue 0 0 2 1 1 2 y 3 1 Si el jugador 1 juega D el jugador 2 jugara U para maximizar su rentabilidad y por lo tanto el jugador 1 solo recibira 1 Sin embargo si el jugador 1 juega U el jugador 2 maximiza su recompensa por jugar D y el jugador 1 recibe 2 El jugador 1 prefiere 2 a 1 y asi jugara U y el jugador 2 jugara D Este es un equilibrio perfecto en subjuegos Un juego representado en forma extensivaInformacion imperfecta EditarUna ventaja de representar el juego de esta manera es que el orden del juego esta claro El arbol muestra claramente que el jugador 1 mueve primero y el jugador 2 observa este movimiento Sin embargo en algunos juegos del juego no ocurre asi Un jugador no siempre observa la eleccion del otro por ejemplo movimientos pueden ser simultaneos o un movimiento puede estar oculto Un conjunto de informacion es un conjunto de nodos de decision de tal manera que Cada nodo del conjunto pertenece a uno de los jugadores Cuando el juego llegue al conjunto de informacion el jugador con el movimiento no puede diferenciar entre los nodos del conjunto de informacion es decir si el conjunto de datos contiene mas de un nodo el jugador al que pertenece ese grupo no sabe que nodo en el conjunto se ha alcanzado En forma extensiva un conjunto de informacion se indica mediante una linea de puntos que conecta todos los nodos que en conjunto o a veces por un bucle dibujado alrededor de todos los nodos en ese conjunto Si un juego tiene un conjunto de informacion con mas de un miembro de ese partido se dice que tiene informacion imperfecta Un juego con informacion perfecta es tal que en cualquier momento de la partida cada jugador sabe exactamente lo que ha ocurrido antes en el juego es decir cada conjunto de informacion es un singleton set Cualquier juego sin informacion perfecta tiene informacion imperfecta El juego de la izquierda es el mismo que el juego anterior excepto que el jugador 2 no sabe lo que el jugador 1 hace cuando viene a jugar El primer juego descrito tiene informacion perfecta el juego de la izquierda no lo hace Si ambos jugadores son racionales y ambos saben que ambos jugadores son racionales y todo lo que es conocido por cualquier jugador es conocido por ser conocido por todos los jugadores es decir el jugador 1 sabe que el jugador 2 sabe que el jugador 1 es racional y el jugador 2 sabe etc ad infinitum jugar el primer juego seria como sigue el jugador 1 sabe que si juega U el jugador 2 juega D porque para el jugador 2 es preferible a una ganancia de 0 un pago de 1 y lo que el jugador 1 recibira 2 Sin embargo si el jugador 1 juega D el jugador 2 jugara U porque al jugador 2 una rentabilidad del 2 es mejor que un pago de 1 y el jugador 1 recibe 1 Por lo tanto en el primer juego el equilibrio sera U D ya que el jugador 1 prefiere recibir 2 a 1 y asi se reproducira U y lo que el jugador 2 jugara D El segundo juego no es tan claro el jugador 2 no puede observar el movimiento del jugador 1 Jugador 1 quisiera enganar al jugador 2 en el pensamiento de que ha jugado U cuando en realidad ha jugado D para que el jugador 2 jugara D y el jugador 1 recibe 3 De hecho en el segundo juego hay un equilibrio bayesiano perfecto donde el jugador 1 juega D y el jugador 2 juega U y el jugador 2 tiene la creencia de que el jugador 1 sin duda jugaria D En este equilibrio cada estrategia es racional dadas las creencias y todas las creencias son consistentes con las estrategias jugadas Observe como la imperfeccion de la informacion cambia el resultado del juego Referencias Editar Hart Sergiu 1992 Games in extensive and strategic forms In Aumann Robert Hart Sergiu Handbook of Game Theory with Economic Applications 1 Elsevier ISBN 978 0 444 88098 7 Hart Sergiu Hart Sergiu 1992 Games in extensive and strategic forms En Aumann Robert ed Handbook of Game Theory with Economic Applications 1 Elsevier ISBN 978 0 444 88098 7 Binmore Kenneth 2007 Playing for real a text on game theory Oxford University Press US ISBN 978 0 19 530057 4 Dresher M 1961 The mathematics of games of strategy theory and applications Ch4 Games in extensive form pp74 78 Rand Corp ISBN 0 486 64216 X Fudenberg D and Tirole J 1991 Game theory Ch3 Extensive form games pp67 106 Mit press ISBN 0 262 06141 4 Leyton Brown Kevin Shoham Yoav 2008 Essentials of Game Theory A Concise Multidisciplinary Introduction San Rafael CA Morgan amp Claypool Publishers ISBN 978 1 59829 593 1 An 88 page mathematical introduction see Chapters 4 and 5 Free online at many universities Luce R D and Raiffa H 1957 Games and decisions introduction and critical survey Ch3 Extensive and Normal Forms pp39 55 Wiley New York ISBN 0 486 65943 7 Osborne MJ and Rubinstein A 1994 A course in game theory Ch6 Extensive game with perfect information pp 89 115 MIT press ISBN 0 262 65040 1 Shoham Yoav Leyton Brown Kevin 2009 Multiagent Systems Algorithmic Game Theoretic and Logical Foundations New York Cambridge University Press ISBN 978 0 521 89943 7 A comprehensive reference from a computational perspective see Chapter 5 Downloadable free online Bibliografia Ampliada EditarHorst Herrlich 2006 Axiom of choice Springer ISBN 978 3 540 30989 5 6 1 Disasters in Game Theory and 7 2 Measurability The Axiom of Determinateness discusses problems in extending the finite case definition to infinite number of options or moves Neumann J 1928 Zur Theorie der Gesellschaftsspiele Mathematische Annalen 100 295 320 doi 10 1007 BF01448847 Harold William Kuhn 2003 Lectures on the theory of games Princeton University Press ISBN 978 0 691 02772 2 contains Kuhn s lectures at Princeton from 1952 officially unpublished previously but in circulation as photocopies Datos Q656416 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Juegos en forma extensiva amp oldid 142451353, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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