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Integración de Verlet

El algoritmo de Verlet es un procedimiento para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con valores iniciales conocidos (problema de Cauchy). Es particularmente apropiado en las situaciones en que la expresión de la segunda derivada solo es función de las variables, dependiente o independiente, sin participar la primera derivada. Este es el caso de numerosos problemas de la dinámica newtoniana, por lo que se emplea frecuentemente en astronomía y mecánica molecular.

Dado un sistema de coordenadas, la posición de una partícula a lo largo del tiempo puede ser expresada por una función de las coordenadas del vector y del tiempo. En el instante t

Ec.(1)  : Posición = ; Velocidad d / dt; Aceleración = d2 / dt2.

En 1967, el matemático francés Loup Verlet presentó la primera versión de su modelo,[1]​ denominada Integración de Verlet, caracterizada por su simplicidad sin pérdida de exactitud y estabilidad. Posteriormente, en 1985,[2]​ se propuso una ligera corrección a la Integración de Verlet, conocida como algoritmo de Verlet con velocidad, que mejora la precisión y estabilidad de las soluciones.

Algoritmo de Verlet. Integración

Desarrollando en serie de Taylor el valor de la función para dos incrementos de la variable independiente: dt y - dt se obtiene:

Ec.( 2 )  :  

Ec.( 3 )  :  

Donde   es la posición,   la velocidad,   la aceleración y   la sobreaceleración .

Sumando ambas ecuaciones, limitando la serie hasta el término de cuarto grado, y reagrupando términos se obtiene la ley de recursión para las posiciones:

Ec.( 4 )  :  

Al despreciar el último término el error cometido es de cuarto grado, inferior a la mayoría de los algoritmos convencionales.

Como puede comprobarse, la Ec.(4) proporciona la trayectoria sin intervenir la velocidad, lo que simplifica los cálculos. Caso de necesitar conocer las velocidades, estas se obtienen directamente por simple diferencia de las Ec.(2) y Ec.(3):

Ec. ( 5 )  :  

Inicialización

Las Ec.(4) y Ec.(5) son característica de un método de resolución implícito (multipaso). Al comenzar la serie, se halla el tercer término ( ), en función del segundo ( ) y el primero (  ). El primer término, es un dato del problema, pero el segundo es desconocido y la Ec.(5) no permite su cálculo. Para obviar esta limitación, el segundo valor de la serie ( ) se calcula a partir de los valores iniciales con ayuda de algún método implícito que permita esta operación, por ejemplo el de Euler,

Ec. ( 6 )  :  

Y ya se tienen todos los términos necesarios para proseguir el cálculo recursivo.

Esta discontinuidad puede ser origen de cierta inestabilidad, aunque, si el valor de   es suficientemente pequeño, suele corregirse automáticamente.

Aplicación: Problema de los dos cuerpos

En el denominado problema de los dos cuerpos se trata de hallar las trayectorias de dos cuerpos sometidos exclusivamente a su fuerza gravitatoria mutua. Como es conocido el centro de masas del conjunto puede ser tomado como origen de coordenadas y las órbitas se mueven en un plano. Esto permite simplificar el cálculo. Adoptando un sistema de coordenadas y posiciones iniciales como se muestra en el gráfico, el problema se reduce a un sistemas de cuatro variables dependientes, las coordenadas de posición de los dos cuerpos, una variable independiente, el tiempo, todo ello ligado por cuatro ecuaciones que se deben resolver secuencialmente en cada paso de la iteración.

La figura muestra los cálculos realizados en una Hoja de Cálculo y la salida de un programa gráfico escrito en javascript

 

El dibujo se ha obtenido trazando varios periodos con el propósito de mostrar la falta de coincidencia entre órbitas consecutivas, motivado por haber seleccionado un   excesivamente grande. Resulta sencillo mejorar la precisión reduciendo el intervalo o, como se muestra a continuación, aplicando el siguiente algoritmo.

Algoritmo de Verlet con velocidad

Como mejora del original algoritmo, se ha propuesto una fórmula aplicable desde el principio donde interviene explicitamente la velocidad, que es calculada por un procedimiento algo más refinado.

En la expresión del desarrollo en serie,

Ec.( 7 )  :  

Limitando la serie al término de segundo grado,[3]​ el error en la posición es de orden tercero, se encuentra la forma iterativa para determinar la posición en función de velocidad (d  / dt) y aceleración (d2  / dt2), ambos datos del problema). Para calcular las velocidades, operando sobre las expresiones obtenidas en las Ec.(5) y Ec.(6)[4]​ se llega a la siguiente expresión:

Ec.(8)  :  

Las Ec.(7) y Ec.(8) presentan gran analogía con las utilizadas en el procedimiento de Integración del salto de rana; en Verlet, posición y velocidad se obtienen en el mismo punto de la trayectoria, mientras que en salto de rana se calculan intercalados.

Inicialización

En la Ec.(8), para calcular   se necesita el valor previo de  . Pero a diferencia de la Integración de Verlet, no es necesario recurrir a ninguna suposición externa al propio procedimiento

Llamando t0, v0 y a0 a los valores de la respectivas variables en el instante inicial y t1 = t0 +  , v1 y a1 para el siguiente término:

A partir de la Ec.( 1 )  :  

A partir de la Ec.( 7 )  :  

Con el valor de    :  

Continua la secuencia  :  

Aplicación: Problema de los dos cuerpos

Para una primera comparación de la precisión de ambos procedimientos en la siguiente figura se ha resuelto el mismo caso, con dos valores de  , 0,005 y 0,001.

 

Como puede comprobarse, para  , el trazo de la figura es más neto que con el algoritmo de Integración de Verlet, lo que implica mayor precisión. No obstante, no puede considerarse completamente satisfactorio. En cambio, haciendo   el perfil de las órbitas parece nítido por completo, lo que significa que en las sucesivas revoluciones se ha utilizado idéntico camino(hasta donde alcanza la precisión observable), siendo preferible esta vía para mejorar los resultados.

Referencias

  1. Loup Verlet "Computer "Experiments" on Classical Fluids. I. Thermodynamical Properties of Lennard-Jones Molecules", Physical Review 159 pp. 98-103 (1967)
  2. William C. Swope, Hans C. Andersen, Peter H. Berens and Kent R. Wilson "A computer simulation method for the calculation of equilibrium constants for the formation of physical clusters of molecules: Application to small water clusters", Journal of Chemical Physics 76 pp. 637-649 (1982)
  3. Obsérvese la analogía con la fórmula que expresa el espacio recorrido en el caso del movimiento uniformemente acelerado
  4. Mecanica 3d: python y el algoritmo de Verlet. J. F. Rojas, R. Martínez y M. A. Morales
  •   Datos: Q2984997

integración, verlet, algoritmo, verlet, procedimiento, para, integración, numérica, ecuaciones, diferenciales, ordinarias, segundo, orden, valores, iniciales, conocidos, problema, cauchy, particularmente, apropiado, situaciones, expresión, segunda, derivada, s. El algoritmo de Verlet es un procedimiento para la integracion numerica de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con valores iniciales conocidos problema de Cauchy Es particularmente apropiado en las situaciones en que la expresion de la segunda derivada solo es funcion de las variables dependiente o independiente sin participar la primera derivada Este es el caso de numerosos problemas de la dinamica newtoniana por lo que se emplea frecuentemente en astronomia y mecanica molecular Dado un sistema de coordenadas la posicion de una particula a lo largo del tiempo puede ser expresada por una funcion de las coordenadas del vector y del tiempo En el instante tEc 1 Posicion x t displaystyle vec x t Velocidad dx t displaystyle vec x t dt Aceleracion d2x t displaystyle vec x t dt2 En 1967 el matematico frances Loup Verlet presento la primera version de su modelo 1 denominada Integracion de Verlet caracterizada por su simplicidad sin perdida de exactitud y estabilidad Posteriormente en 1985 2 se propuso una ligera correccion a la Integracion de Verlet conocida como algoritmo de Verlet con velocidad que mejora la precision y estabilidad de las soluciones Indice 1 Algoritmo de Verlet Integracion 1 1 Inicializacion 1 1 1 Aplicacion Problema de los dos cuerpos 2 Algoritmo de Verlet con velocidad 2 1 Inicializacion 2 1 1 Aplicacion Problema de los dos cuerpos 3 ReferenciasAlgoritmo de Verlet Integracion EditarDesarrollando en serie de Taylor el valor de la funcion para dos incrementos de la variable independiente dt y dt se obtiene Ec 2 x t D t x t v t D t a t D t 2 2 b t D t 3 6 O D t 4 displaystyle vec x t Delta t vec x t vec v t Delta t frac vec a t Delta t 2 2 frac vec b t Delta t 3 6 O Delta t 4 Ec 3 x t D t x t v t D t a t D t 2 2 b t D t 3 6 O D t 4 displaystyle vec x t Delta t vec x t vec v t Delta t frac vec a t Delta t 2 2 frac vec b t Delta t 3 6 O Delta t 4 Donde x displaystyle vec x es la posicion v displaystyle vec v la velocidad a displaystyle vec a la aceleracion y b displaystyle vec b la sobreaceleracion Sumando ambas ecuaciones limitando la serie hasta el termino de cuarto grado y reagrupando terminos se obtiene la ley de recursion para las posiciones Ec 4 x t D t 2 x t x t D t a t D t 2 O D t 4 displaystyle vec x t Delta t 2 vec x t vec x t Delta t vec a t Delta t 2 O Delta t 4 Al despreciar el ultimo termino el error cometido es de cuarto grado inferior a la mayoria de los algoritmos convencionales Como puede comprobarse la Ec 4 proporciona la trayectoria sin intervenir la velocidad lo que simplifica los calculos Caso de necesitar conocer las velocidades estas se obtienen directamente por simple diferencia de las Ec 2 y Ec 3 Ec 5 v t x t D t x t D t 2 D t displaystyle vec v t vec x t Delta t vec x t Delta t 2 Delta t Inicializacion Editar Las Ec 4 y Ec 5 son caracteristica de un metodo de resolucion implicito multipaso Al comenzar la serie se halla el tercer termino x t D t displaystyle vec x t Delta t en funcion del segundo x t displaystyle vec x t y el primero x t D t displaystyle vec x t Delta t El primer termino es un dato del problema pero el segundo es desconocido y la Ec 5 no permite su calculo Para obviar esta limitacion el segundo valor de la serie x t displaystyle vec x t se calcula a partir de los valores iniciales con ayuda de algun metodo implicito que permita esta operacion por ejemplo el de Euler Ec 6 x t D t x t D t v t displaystyle vec x t Delta t vec x t Delta t vec v t Y ya se tienen todos los terminos necesarios para proseguir el calculo recursivo Esta discontinuidad puede ser origen de cierta inestabilidad aunque si el valor de D t displaystyle Delta t es suficientemente pequeno suele corregirse automaticamente Aplicacion Problema de los dos cuerpos Editar En el denominado problema de los dos cuerpos se trata de hallar las trayectorias de dos cuerpos sometidos exclusivamente a su fuerza gravitatoria mutua Como es conocido el centro de masas del conjunto puede ser tomado como origen de coordenadas y las orbitas se mueven en un plano Esto permite simplificar el calculo Adoptando un sistema de coordenadas y posiciones iniciales como se muestra en el grafico el problema se reduce a un sistemas de cuatro variables dependientes las coordenadas de posicion de los dos cuerpos una variable independiente el tiempo todo ello ligado por cuatro ecuaciones que se deben resolver secuencialmente en cada paso de la iteracion La figura muestra los calculos realizados en una Hoja de Calculo y la salida de un programa grafico escrito en javascript El dibujo se ha obtenido trazando varios periodos con el proposito de mostrar la falta de coincidencia entre orbitas consecutivas motivado por haber seleccionado un D t displaystyle Delta t excesivamente grande Resulta sencillo mejorar la precision reduciendo el intervalo o como se muestra a continuacion aplicando el siguiente algoritmo Algoritmo de Verlet con velocidad EditarComo mejora del original algoritmo se ha propuesto una formula aplicable desde el principio donde interviene explicitamente la velocidad que es calculada por un procedimiento algo mas refinado En la expresion del desarrollo en serie Ec 7 x t D t x t v t D t a t D t 2 2 O D t 3 displaystyle vec x t Delta t vec x t vec v t Delta t frac vec a t Delta t 2 2 O Delta t 3 Limitando la serie al termino de segundo grado 3 el error en la posicion es de orden tercero se encuentra la forma iterativa para determinar la posicion en funcion de velocidad dx t displaystyle vec x t dt y aceleracion d2x t displaystyle vec x t dt2 ambos datos del problema Para calcular las velocidades operando sobre las expresiones obtenidas en las Ec 5 y Ec 6 4 se llega a la siguiente expresion Ec 8 v t D t v t D t d 2 x t D t d t 2 d 2 x t d t 2 2 displaystyle vec v t Delta t vec v t Delta t d 2 vec x t Delta t dt 2 d 2 vec x t dt 2 2 Las Ec 7 y Ec 8 presentan gran analogia con las utilizadas en el procedimiento de Integracion del salto de rana en Verlet posicion y velocidad se obtienen en el mismo punto de la trayectoria mientras que en salto de rana se calculan intercalados Inicializacion Editar En la Ec 8 para calcular v t D t displaystyle vec v t Delta t se necesita el valor previo de a t D t displaystyle vec a t Delta t Pero a diferencia de la Integracion de Verlet no es necesario recurrir a ninguna suposicion externa al propio procedimientoLlamando t0 v0 y a0 a los valores de la respectivas variables en el instante inicial y t1 t0 D t displaystyle Delta t v1 y a1 para el siguiente termino A partir de la Ec 1 a 0 t 0 displaystyle vec a0 t0 A partir de la Ec 7 x 1 t 0 D t x 0 t 0 v t 0 D t a 0 t 0 D t 2 2 displaystyle vec x1 t0 Delta t vec x0 t0 vec v t0 Delta t frac vec a0 t0 Delta t 2 2 Con el valor de x 1 t 1 displaystyle vec x1 t1 a 1 t 0 D t displaystyle vec a1 t0 Delta t Continua la secuencia x t D t x t v t D t a t D t 2 2 displaystyle vec x t Delta t vec x t vec v t Delta t frac vec a t Delta t 2 2 Aplicacion Problema de los dos cuerpos Editar Para una primera comparacion de la precision de ambos procedimientos en la siguiente figura se ha resuelto el mismo caso con dos valores de D t displaystyle Delta t 0 005 y 0 001 Como puede comprobarse para D t 0 005 displaystyle Delta t 0 005 el trazo de la figura es mas neto que con el algoritmo de Integracion de Verlet lo que implica mayor precision No obstante no puede considerarse completamente satisfactorio En cambio haciendo D t 0 001 displaystyle Delta t 0 001 el perfil de las orbitas parece nitido por completo lo que significa que en las sucesivas revoluciones se ha utilizado identico camino hasta donde alcanza la precision observable siendo preferible esta via para mejorar los resultados Referencias Editar Loup Verlet Computer Experiments on Classical Fluids I Thermodynamical Properties of Lennard Jones Molecules Physical Review 159 pp 98 103 1967 William C Swope Hans C Andersen Peter H Berens and Kent R Wilson A computer simulation method for the calculation of equilibrium constants for the formation of physical clusters of molecules Application to small water clusters Journal of Chemical Physics 76 pp 637 649 1982 Observese la analogia con la formula que expresa el espacio recorrido en el caso del movimiento uniformemente acelerado Mecanica 3d python y el algoritmo de Verlet J F Rojas R Martinez y M A Morales Datos Q2984997Obtenido de https es wikipedia org w index php title Integracion de Verlet amp oldid 135993598, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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