Hipotrocoide

Una hipotrocoide, en geometría, es la curva plana que describe un punto vinculado a una circunferencia generatriz que rueda dentro de una circunferencia directriz, tangencialmente, sin deslizamiento.

La palabra se compone de las raíces griegas hipo hupo (abajo) y trokos (rueda).

Estas curvas fueron estudiadas por Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer en 1674 y Bernoulli en 1725.

Hipotrocoide (en trazo rojo), circunferencia directriz (en trazo azul), circunferencia generatriz (en trazo negro). Parámetros: R = 5, r = 3, d = 5).

La elipse como caso particular de hipotrocoide. Parámetros: R = 10, r = 5 = R/2, d = 1.

Ecuaciones

Siendo ${\displaystyle q={\dfrac {a}{b}}}$  (donde ${\displaystyle q>1}$ ) y ${\displaystyle d=kb}$ , con circunferencia directriz de radio a, y circunferencia generatriz de radio a, y la distancia al centro de la generatriz d, la ecuación de la hipotrocoide es:

${\displaystyle z=a=x}$  pero x no es igual a A

donde:

${\displaystyle qz=a[(q-1)e^{it}+ke^{-i(q-1)t}]\,}$ 

${\displaystyle q(x+iy)=a(q-1)\cos(t)+ia(q-1)\sin(t)+ak\cos[(q-1)t]-iak\sin[(q-1)t]}$ 

Por identificación de las partes reales e imaginarias se obtiene:

${\displaystyle qx=a(q-1)\cos(t)+ka\cos[(q-1)t)];\,}$ 

${\displaystyle qy=a(q-1)\sin(t)-ka\sin[(q-1)t)];\,}$ 

donde:

${\displaystyle q={\dfrac {a}{b}}}$  y ${\displaystyle k={\dfrac {d}{b}}\,}$ .

Sabiendo que ${\displaystyle a=R}$ , ${\displaystyle b=r}$  y ${\displaystyle t=\theta }$ , obtenemos las ecuaciones siguientes:

${\displaystyle x=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)}$ 

${\displaystyle y=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)}$ 

el ángulo ${\displaystyle \theta }$  varía de 0 a 2π.

Las elipses son casos particulares de hipotrocoide, donde ${\displaystyle R=2r}$ .

Las hipocicloides son casos particulares, donde ${\displaystyle d=r}$  (el punto fijo de la generatriz)

Aplicaciones

• Los espirografos (son juguetes para dibujar) crean hipotrocoides.
• Las hipotrocoides definen el soporte de los autovalores de matrices aleatorias con correlaciones cíclicas.^[1]​

Véase también

• Epitrocoide
• Hipocicloide

Referencias

1. Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning (16 de julio de 2019). «Universal hypotrochoidic law for random matrices with cyclic correlations». Physical Review E 100 (1): 010302. doi:10.1103/PhysRevE.100.010302. Consultado el 4 de octubre de 2020. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Hipotrocoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Ferréol, Robert; Mandonnet, Jacques. «Hipotrocoide». Encyclopédie des formes mathématiques remarquables (en francés).
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Hypotrochoid» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Hypotrochoid.html .

•   Datos: Q1047694
•   Multimedia: Hypotrochoids