Grupo resoluble

En la teoría de grupos, un grupo resoluble (o soluble) es un grupo que se construye a partir de grupos abelianos usando extensiones de grupo. Equivalentemente, un grupo resoluble es un grupo cuya serie derivada se termina en el subgrupo trivial.

Definición

Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos ${\displaystyle \{G_{i}\}_{i=1}^{n}\subset G}$  tal que:

${\displaystyle \{1_{G}\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \dots \subseteq G_{n}=G,}$ 

donde para cada ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n-1}$  se cumple que:

• ${\displaystyle G_{i}}$  es subgrupo normal en ${\displaystyle G_{i+1}}$ , notado usualmente como ${\displaystyle G_{i}\triangleleft G_{i+1}}$ .

• El grupo cociente ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$  es abeliano.

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre, según Serge Lang.

Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores. Definimos ${\displaystyle G^{(0)}=G}$  y ${\displaystyle G^{(i+1)}=[G_{i},G_{i}]}$ . Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:

${\displaystyle G=G^{(0)}\supseteq G^{(1)}\supseteq G^{(2)}\dots ,}$  donde ${\displaystyle G^{(i+1)}\vartriangleleft G^{(i)}}$  para todo i.

El grupo es soluble si existe ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  tal que ${\displaystyle G^{(n)}=\{1_{G}\}}$ .

Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo ${\displaystyle J}$  y un subgrupo normal ${\displaystyle N\vartriangleleft J}$ , se tiene que ${\displaystyle J/N}$  es abeliano si y solo si ${\displaystyle [J,J]\subseteq N}$ .

Ejemplos

• Todo grupo abeliano es resoluble, ya que ${\displaystyle \{1\}\subseteq G}$  y ${\displaystyle 1\triangleleft G}$ , dado que ${\displaystyle x\cdot 1_{G}\cdot x^{-1}\in \{1_{G}\}}$  y además ${\displaystyle G/\{1\}\simeq G}$ , por lo que es abeliano.

• ${\displaystyle S_{3}}$  es resoluble. Basta ver que ${\displaystyle 1\triangleleft A_{3}\triangleleft S_{3}}$  es una torre abeliana, con ${\displaystyle A_{n}}$  el grupo alternado para ${\displaystyle S_{n}}$ .

• ${\displaystyle A_{4}}$  es resoluble. Basta ver que ${\displaystyle 1\triangleleft V\triangleleft A_{4}}$ , es una torre abeliana de ${\displaystyle A_{4}}$ , donde ${\displaystyle V=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$ .

• ${\displaystyle S_{4}}$  es resoluble. Se puede ver que ${\displaystyle 1\triangleleft V\triangleleft A_{4}\triangleleft S_{4}}$  es una torre abeliana de ${\displaystyle S_{4}}$ .

• ${\displaystyle A_{5}}$  es un grupo no resoluble, ya que se conoce que ${\displaystyle A_{5}}$  es simple, por lo que la única cadena posible es ${\displaystyle 1\triangleleft A_{5}}$ , pero ${\displaystyle A_{5}}$  no es abeliano, dado que ${\displaystyle (12)(34)(345)\neq (345)(12)(34)}$ .

Propiedades

• Si ${\displaystyle G}$  es un grupo soluble y ${\displaystyle f:G\to H}$  es un homomorfismo de grupos entonces ${\displaystyle f(G)}$  es soluble. Esto es equivalente, gracias al primer teorema de isomorfismos, a que si ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$  y ${\displaystyle G}$  es soluble entonces ${\displaystyle G/N}$  es soluble.

• Si ${\displaystyle G}$  es soluble y ${\displaystyle H\leq G}$  entonces ${\displaystyle H}$  es soluble.

• Si ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$  verifican que tanto ${\displaystyle N}$  como ${\displaystyle G/N}$  son solubles entonces ${\displaystyle G}$  es soluble.

• De las propiedades anteriores podemos deducir que el producto directo ${\displaystyle G\times H}$  es soluble si y solo si ${\displaystyle G}$  y ${\displaystyle H}$  lo son.

Importancia

Está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas. Un teorema importante en ese sentido es:

Un polinomio g sobre K (con característica 0) es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois sobre K es soluble.^[1]​

Referencias

1. http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/teogal1112/capitulo4.pdf , apuntes de la asignatura Álgebra 2, de la Universidad Autónoma de Madrid, escritas por Fernando Chamizo.

•   Datos: Q759832