Función localmente integrable

En matemáticas, un función localmente integrable es una función que es integrable en cualquier conjunto acotado contenido en su dominio de definición y cuya adherencia está contenida también en dicho dominio. La importancia del concepto reside en el hecho de que se ignora el comportamiento de la función en el infinito, y se atiende sólo a su comportamiento local.

Definición formal

Más formalmente, sea ${\displaystyle \scriptstyle \Omega }$  un conjunto abierto del espacio euclídeo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$  y sea ${\displaystyle \scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$  una función medible en el sentido de Lebesgue. Si la integral de Lebesgue:

${\displaystyle \int _{B}|f|dx\,}$ 

es finita para todo conjunto acotado ${\displaystyle B\subset \Omega }$ , con ${\displaystyle {\overline {B}}\subseteq \Omega }$ , entonces ${\displaystyle f}$  es una función localmente integrable. El conjunto de todas las funciones localmente integrable es un espacio vectorial designado por:

${\displaystyle L_{loc}^{1}(\Omega )}$ 

Propiedades

Teorema. Toda función ${\displaystyle \scriptstyle f}$  del espacio ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ , ${\displaystyle \scriptstyle 1\leq p\leq +\infty }$ , donde ${\displaystyle \Omega }$  es un conjunto abierto de ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$  es localmente integrable. Para ver esto, basta considerar la función característica ${\displaystyle \scriptstyle \chi _{K}}$  de un conjunto compacto${\displaystyle \scriptstyle K}$  de ${\displaystyle \Omega }$ : entonces, para ${\displaystyle \scriptstyle p\leq +\infty }$ 

${\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}dx}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}dx}\right|^{1/q}=|\mu (K)|^{1/q}<+\infty }$ 

donde

• ${\displaystyle q}$  es un número positivo tal que ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$ para un p dado tal que ${\displaystyle \scriptstyle 1\leq p\leq +\infty }$ 
• ${\displaystyle \mu (K)}$  es la medida de Lebesgue del conjunto compacto ${\displaystyle K}$ 

Entonces por la desigualdad de Hölder se tiene que:

${\displaystyle {\int _{K}|f|dx}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|dx}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}dx}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}dx}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty }$ 

Y por tanto:

${\displaystyle f\in L_{loc}^{1}(\Omega )}$ 

Nótese que puesto que la siguiente desigualdad es cierta:

${\displaystyle {\int _{K}|f|dx}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|dx}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}dx}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}dx}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty }$ 

la afirmación se sigue también para funciones ${\displaystyle f}$ que pertenecen al espacio ${\displaystyle L^{p}(K)}$  para cada conjunto compacto ${\displaystyle K}$  de ${\displaystyle \Omega }$ .

Referencias

• Strichartz, Robert S. (2003). A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms (en inglés). World Scientific Publishers. ISBN 981-238-430-8. 

•   Datos: Q1318586