Forma normal de Hesse

La forma normal de Hesse normal, nombrada así por Otto Hesse, es una ecuación usada en geometría analítica y describe una recta en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, un plano en el Espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ o un hiperplano en dimensiones mayores.^[1]​^[2]​ Es usada principalmente para calcular distancias (ver distancia de un punto a un plano y distancia de un punto a una recta).

Gráfico de la normal (en rojo) y la distancia del origen a la recta (en verde) calculada con la forma normal de Hesse.

Se escribe como

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$

El punto ${\displaystyle \cdot }$ indica el producto escalar o producto punto.

El vector ${\displaystyle {\vec {n}}_{0}}$ representa el vector normal unidad de E o g, que apunta desde el origen del sistema de coordenadas al plano (o línea, en 2D). La distancia ${\displaystyle d\geq 0}$ es la distancia desde el origen hasta el plano (o recta).

Esta ecuación es satisfecha por todos los puntos P, ubicados precisamente en el plano E (o en 2D, en la recta g ), descrito por el vector de ubicación ${\displaystyle {\vec {r}}}$ que apunta desde el origen del sistema de coordenadas a P.

Derivación/Cálculo de la forma normal

Nota: Por simplicidad, la siguiente derivación discute el caso 3D. Sin embargo, también es aplicable en 2D.

En la forma normal,

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,}$ 

un plano está dado por el vector normal ${\displaystyle {\vec {n}}}$  así como un vector de posición arbitrario ${\displaystyle {\vec {a}}}$  de un punto ${\displaystyle A\in E}$ . La dirección de ${\displaystyle {\vec {n}}}$  se elige para satisfacer la siguiente desigualdad

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,}$ 

Al dividir el vector normal ${\displaystyle {\vec {n}}}$  por su magnitud ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$ , obtenemos el vector normal unitario (o normalizado)

${\displaystyle {\vec {n}}_{0}={{\vec {n}} \over {|{\vec {n}}|}}\,}$ 

y la ecuación anterior se puede reescribir como

${\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0.\,}$ 

Substituyendo

${\displaystyle d={\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{0}\geq 0\,}$ 

obtenemos la forma normal de Hesse

${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,}$ 

 

En este diagrama, d es la distancia desde el origen. Debido a que ${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}=d}$  se cumple para cada punto del plano, también es cierto en el punto Q (el punto donde el vector del origen se encuentra con el plano E), con ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{s}}$ , según la definición de producto escalar

${\displaystyle d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s}|.\,}$ 

La magnitud ${\displaystyle |{\vec {r}}_{s}|}$  de ${\displaystyle {{\vec {r}}_{s}}}$  es la menor distancia del origen al plano.

Referencias

1. Bôcher, Maxime (1915), Plane Analytic Geometry: With Introductory Chapters on the Differential Calculus, H. Holt, p. 44 ..
2. John Vince: Geometry for Computer Graphics. Springer, 2005, ISBN 9781852338343, pp. 42, 58, 135, 273

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Hesse normal form» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

•   Datos: Q631538