Espacio cociente (álgebra lineal)

En álgebra lineal, el espacio vectorial cociente E/F de un espacio vectorial E por un subespacio vectorial F, es la estructura natural de espacio vectorial sobre el conjunto cociente de E por la siguiente relación de equivalencia: v está relacionado con w si y solo si v-w pertenece a F.

Definición

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea F un subespacio vectorial de E, podemos definir la siguiente relación de equivalencia entre los elementos de E:

Dados ${\displaystyle u,v\in E}$  diremos que están relacionados módulo ${\displaystyle F\,}$  si ${\displaystyle u-v\in F}$ .

La relación anterior es una relación de equivalencia

Se considera la relación ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y:=\langle x-y\in F\rangle }$  y se comprueban: Propiedad reflexiva: Dado un elemento ${\displaystyle x\in E}$  se tiene que ${\displaystyle x-x={\vec {0}}\in F.}$  Propiedad de simetría: Dados dos elementos ${\displaystyle x,y\in E}$  se tiene que si ${\displaystyle x-y=v\in F}$  entonces ${\displaystyle -v\in F}$  es decir ${\displaystyle y-x\in F.}$  Propiedad transitiva: Dados tres elementos ${\displaystyle x,y,z\in E}$  se tiene que si ${\displaystyle x-y\in F}$  y ${\displaystyle y-z\in F}$  entonces ${\displaystyle F\ni (x-y)+(y-z)=x-z}$  es decir ${\displaystyle x-z\in F.}$

Observación:${\displaystyle u-v\in F}$  equivale a ${\displaystyle u-v=w,w\in F}$ , es decir, ${\displaystyle u=v+w,w\in F}$  y abusando del lenguaje ${\displaystyle u=v+F.}$ 

Se nota por ${\displaystyle [u]=u+F:=\{u+v:v\in F\}}$  ${\displaystyle =\{w:w=u+v,\;v\in F\}}$  a la clase de ${\displaystyle u\,}$  módulo ${\displaystyle F\,}$ .

Llamaremos espacio cociente al conjunto de todos los elementos que cumplen las clases de equivalencia anterior:

Se nota por ${\displaystyle E/F_{}^{}}$  a dicho espacio cociente.

El espacio ${\displaystyle E/F_{}^{}}$  es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

${\displaystyle {\begin{matrix}[u]+[v]&:=&[u+v]\\\;\;\;\;\;\;\;\lambda [u]&:=&[\lambda u]\;\;\;\;\end{matrix}}}$

La suma y multiplicación están definidas por ser ${\displaystyle F\,}$  un subespacio vectorial: ${\displaystyle [u]+[v]=(u+F)+(v+F)=u+v+(F+F)}$  ${\displaystyle =u+v+F}$  ${\displaystyle =[u+v]\in E/F.}$  Propiedad conmutativa: ${\displaystyle [u]+[v]=[u+v]=[v+u]=[v]+[u].}$  Propiedad asociativa: ${\displaystyle [u]+([v]+[w])=[u]+[v+w]=[u+(v+w)]=[(u+v)+w]=[u+v]+[w]=([u]+[v])+[w].}$  Existencia del elemento neutro: ${\displaystyle [0]+[v]=[0+v]=[v].}$  Existencia del elemento opuesto: ${\displaystyle [u]+[-u]=[u-u]=[0].}$  ${\displaystyle \lambda [u]=\lambda (u+F)=\lambda u+\lambda F}$  ${\displaystyle =\lambda u+F}$  ${\displaystyle =[\lambda u]\in E/F.}$  Propiedad asociativa: ${\displaystyle \alpha (\lambda [u])=\alpha [\lambda u]=[\alpha (\lambda u)]=[(\alpha \lambda )u]}$  ${\displaystyle =(\alpha \lambda )[u].}$  Propiedad del elemento neutro de K: ${\displaystyle 1[u]=[1u]=[u].}$  Propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores: ${\displaystyle \lambda ([u]+[v])=\lambda [u+v]=[\lambda (u+v)]=[\lambda u+\lambda v]}$  ${\displaystyle =[\lambda u]+[\lambda v]}$  ${\displaystyle =\lambda [u]+\lambda [v].}$  Propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares: ${\displaystyle (\lambda +\alpha )[u]=[(\lambda +\alpha )u]=[\lambda u+\alpha u]=[\lambda u]+[\alpha u]}$  ${\displaystyle =\lambda [u]+\alpha [u]}$

Observaciones

• Si ${\displaystyle u\in v+F}$  ${\displaystyle \Leftrightarrow u+F=v+F}$  ${\displaystyle \Leftrightarrow [u]=[v]}$ , por constituir ${\displaystyle E/F}$  una partición de ${\displaystyle E\,.}$ 

• Si ${\displaystyle u\in F}$  ${\displaystyle \Leftrightarrow u\in [0].}$ 

• Si ${\displaystyle u\not \in F}$ , ${\displaystyle \langle u\rangle \cap \;(u+F)\neq \emptyset }$  ${\displaystyle \Leftrightarrow \lambda u=u+v,v\in F}$  ${\displaystyle \Leftrightarrow (\lambda -1)u\in F}$  ${\displaystyle \Leftrightarrow \lambda =1.}$ 

• Los elementos de ${\displaystyle [u]:\;[u]\neq [0]}$  no son un espacio vectorial en ${\displaystyle E\,}$  pues no tiene el elemento neutro ${\displaystyle {\vec {0}}.}$ 
• Esta estructura vectorial es la única en el cociente que hace a la proyección canónica lineal.

Dimensión del espacio cociente

Dado ${\displaystyle E\,}$  un espacio vectorial y ${\displaystyle F\subset E}$  un subespacio, si la dimensión de E es finita entonces:

${\displaystyle E/F}$  es de dimensión finita ${\displaystyle dimE/F=dimE-dimF}$ .

Sean ${\displaystyle m=dimF}$ , ${\displaystyle n=dimE}$  y ${\displaystyle u_{1},...,u_{m}}$  una base de ${\displaystyle F.}$  Se puede completar la base hasta obtener una de ${\displaystyle E}$ , ${\displaystyle {u_{1},...,u_{m},u_{m+1},...,u_{n}}}$ . ${\displaystyle \forall u\in E,\;u=\sum _{i=1}^{n}k_{i}u_{i}}$ . Tomando clases, ${\displaystyle [u]=\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}[u_{i}]}$ , pues ${\displaystyle [u_{1}]=...=[u_{m}]=[0]}$  (ya que ${\displaystyle u_{1},...,u_{m}\in F}$ ). Luego, se tiene que ${\displaystyle [u_{m+1}],...,[u_{n}]}$  generan ${\displaystyle E/F.}$  Para ver que son linealmente independientes, supóngase que: ${\displaystyle [0]=\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}[u_{i}]=[\sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}]}$ , entonces, ${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}}$  pertenece a ${\displaystyle F}$ , en consecuencia, existen ${\displaystyle k_{1},...,k_{m}}$  tales que ${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}k_{i}u_{i}=\sum _{i=1}^{m}k_{i}u_{i}}$ . Por la independencia lineal de ${\displaystyle u_{1},...,u_{n}}$ , se sigue que ${\displaystyle k_{m+1},...,k_{n}=0}$ . Por lo tanto, ${\displaystyle u_{m+1},...,u_{n}}$  son una base de ${\displaystyle E/F}$  y ${\displaystyle dimE/F=n-m=dimE-dimF.}$

Ejemplo

Sea ${\displaystyle F\,}$  un subespacio vectorial de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$  generado por un vector ${\displaystyle v\,}$ , ${\displaystyle F=\langle v\rangle }$ , si se considera el espacio cociente ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/F}$  la clase de un vector ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{2}}$  será:

${\displaystyle [u]=\{u+v:v\in F\}}$ , siendo su espacio cociente ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/F=\{[u]:u\in \mathbb {R} ^{2}\}}$ , es decir todas las rectas paralelas al subespacio F.

 

F y 2 clases [u], [u'] del espacio cociente ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/F}$ .

Véase también

• Grupo cociente

• Conjunto cociente

Referencias

• Weisstein, Eric W. «Espacio Vectorial Cociente». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Bibliografía

• Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.