Ecuación podal

Para un curva plana C y un punto fijo dado O, la ecuación podal de la curva es una relación entre r y p, donde r es la distancia desde O a un punto en C y p es la distancia perpendicular desde O a la tangente a C en el punto considerado. El punto O se llama punto podal y los valores r y p se llaman coordenadas podales de un punto relativo a la curva y al punto podal. También es útil medir la distancia de O a la normal ${\displaystyle p_{c}}$ (la coordenada contrapodal) aunque no es una cantidad independiente y se relaciona con ${\displaystyle (r,p)}$ como ${\displaystyle p_{c}:={\sqrt {r^{2}-p^{2}}}}$.

Coordenadas podales de una curva: dado un origen O, para cada punto P de la curva, se determina el par de valores r (distancia OP) y p (distancia desde O a la perpendicular a la tangente en P que pasa por O)

Algunas curvas tienen ecuaciones podales particularmente simples, por lo que pueden simplificar el cálculo de algunas de sus propiedades, como la curvatura. Estas coordenadas también son adecuadas para resolver ciertos tipos de problemas de fuerza en mecánica clásica y mecánica celeste.

Ecuaciones

Coordenadas cartesianas

Para C dada en coordenadas cartesianas por f (x, y) = 0, y con O tomado como origen, las coordenadas podales del punto (x, y) están dadas por:^[1]​

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ 

${\displaystyle p={\frac {x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}}.}$ 

La ecuación podal se puede encontrar eliminando x e y de estas ecuaciones y de la ecuación de la curva.

La expresión para p se puede simplificar si la ecuación de la curva se escribe en coordenadas homogéneas introduciendo una variable z, de modo que la ecuación de la curva sea g (x, y, z) = 0. El valor de p viene dado por^[2]​

${\displaystyle p={\frac {\frac {\partial g}{\partial z}}{\sqrt {\left({\frac {\partial g}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial g}{\partial y}}\right)^{2}}}}}$ 

donde el resultado se obtiene para z = 1

Coordenadas polares

Para C dada en coordenadas polares por r = f(θ), entonces

${\displaystyle p=r\sin \phi }$ 

donde ψ es el ángulo tangencial polar dado por

${\displaystyle r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \phi .}$ 

La ecuación podal se puede deducir eliminando θ de estas ecuaciones.^[3]​

Alternativamente, de lo anterior, se tiene que

${\displaystyle \left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|={\frac {rp_{c}}{p}},}$ 

donde ${\displaystyle p_{c}:={\sqrt {r^{2}-p^{2}}}}$  es la coordenada "contrapodal", es decir, la distancia a la normal. Esto implica que si una curva satisface una ecuación diferencial autónoma en coordenadas polares de la forma:

${\displaystyle f\left(r,\left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|\right)=0,}$ 

su ecuación de podal se convierte en

${\displaystyle f\left(r,{\frac {rp_{c}}{p}}\right)=0.}$ 

Ejemplo

Como ejemplo, tómese la espiral logarítmica con el ángulo en espiral α:

${\displaystyle r=ae^{{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\theta }.}$ 

Diferenciando con respecto a ${\displaystyle \theta }$  se obtiene

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}ae^{{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\theta }={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}r,}$ 

por lo tanto

${\displaystyle \left|{\frac {dr}{d\theta }}\right|=\left|{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\right|r,}$ 

y así en coordenadas podales resulta

${\displaystyle {\frac {r}{p}}p_{c}=\left|{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\right|r,\qquad \Rightarrow \qquad |\sin \alpha |p_{c}=|\cos \alpha |p,}$ 

o utilizando el hecho de que ${\displaystyle p_{c}^{2}=r^{2}-p^{2}}$  se obtiene

${\displaystyle p=|\sin \alpha |r.}$ 

Este enfoque puede generalizarse para incluir ecuaciones diferenciales autónomas de cualquier orden de la siguiente manera:^[4]​ Una curva C, solución de una n-ésima ecuación diferencial autónoma (${\displaystyle n\geq 1}$ ) en coordenadas polares

${\displaystyle f\left(r,|r'_{\theta }|,r''_{\theta },|r'''_{\theta }|\dots ,r_{\theta }^{(2j)},|r_{\theta }^{(2j+1)}|,\dots ,r_{\theta }^{(n)}\right)=0,}$ 

es la podaria de una curva dada en coordenadas de podales por

${\displaystyle f(p,p_{c},p_{c}p_{c}',p_{c}(p_{c}p_{c}')',\dots ,(p_{c}\partial _{p})^{n}p)=0,}$ 

donde la diferenciación se hace con respecto a ${\displaystyle p}$ .

Problemas de fuerzas

Las soluciones a algunos problemas de fuerzas de la mecánica clásica se pueden obtener de manera sorprendentemente fácil en coordenadas de podales.

Considérese un sistema dinámico:

${\displaystyle {\ddot {x}}=F^{\prime }(|x|^{2})x+2G^{\prime }(|x|^{2}){\dot {x}}^{\perp },}$ 

describiendo la evolución de una partícula de prueba (con posición ${\displaystyle x}$  y velocidad ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ) en el plano en presencia de una fuerza central ${\displaystyle F}$  y potencial de Lorentz ${\displaystyle G}$ . Las cantidades:

${\displaystyle L=x\cdot {\dot {x}}^{\perp }+G(|x|^{2}),\qquad c=|{\dot {x}}|^{2}-F(|x|^{2}),}$ 

se conservan en este sistema.

A continuación, la curva trazada por ${\displaystyle x}$  se da en coordenadas podales por

${\displaystyle {\frac {\left(L-G(r^{2})\right)^{2}}{p^{2}}}=F(r^{2})+c,}$ 

con el punto podal en el origen. Este hecho fue descubierto por P. Blaschke en 2017.^[5]​

Ejemplo

Como ejemplo, considérese el llamado problema de Kepler, es decir, el caso de una fuerza central, que varía inversamente con el cuadrado de la distancia:

${\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {M}{|x|^{3}}}x,}$ 

Se puede llegar a la solución de inmediato en coordenadas podales

${\displaystyle {\frac {L^{2}}{p^{2}}}={\frac {2M}{r}}+c,}$ ,

donde ${\displaystyle L}$  corresponde al momento angular de la partícula y ${\displaystyle c}$  a su energía. Por lo tanto, se ha obtenido la ecuación de una sección cónica en coordenadas podales.

Inversamente, para una curva dada C, se puede deducir fácilmente qué fuerzas hay que imponer sobre una partícula de prueba para moverse sobre ella.

Ecuaciones podales para curvas específicas

Espirales sinusoidales

Para una espiral sinusoidal descrita según la fórmula

${\displaystyle r^{n}=a^{n}\sin(n\theta )}$ 

el ángulo tangencial polar es

${\displaystyle \psi =n\theta }$ 

que produce la ecuación podal

${\displaystyle pa^{n}=r^{n+1}.}$ 

La ecuación podal para un numerosas curvas conocidas se puede obtener dando a n valores específicos:^[6]​

n	Curva	Punto podal	Ecuación podal
1	Circunferencia de radio a	Punto en la circunferencia	pa = r^2
−1	Recta	Punto a una distancia a de la recta	p = a
^1⁄2	Cardioide	Cúspude	p^2a = r^3
−^1⁄2	Parábola	Foco	p^2 = ar
2	Lemniscata de Bernoulli	Centro	pa^2 = r^3
−2	Hipérbola	Centro	rp = a^2

Espirales

Una curva espiral de la forma

${\displaystyle r=c\theta ^{\alpha },}$ 

satisface la ecuación

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}=\alpha r^{\frac {\alpha -1}{\alpha }},}$ 

y así se puede convertir fácilmente en coordenadas podales como

${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {\alpha ^{2}c^{\frac {2}{\alpha }}}{r^{2+{\frac {2}{\alpha }}}}}+{\frac {1}{r^{2}}}.}$ 

Los casos especiales incluyen:

${\displaystyle \alpha }$	Curva	Punto podal	Ecuación podal
1	Espiral de Arquímedes	Origen	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {c^{2}}{r^{4}}}}$
−1	Espiral hiperbólica	Origen	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}}$
^1⁄2	Espiral de Fermat	Origin	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {c^{4}}{4r^{6}}}}$
−^1⁄2	Lituus	Origen	${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {r^{2}}{4c^{4}}}}$

Epicicloides e hipocicloides

Para una epi o hipocicloide dada por ecuaciones paramétricas

${\displaystyle x(\theta )=(a+b)\cos \theta -b\cos \left({\frac {a+b}{b}}\theta \right)}$ 

${\displaystyle y(\theta )=(a+b)\sin \theta -b\sin \left({\frac {a+b}{b}}\theta \right),}$ 

la ecuación podal con respecto al origen es ^[7]​

${\displaystyle r^{2}=a^{2}+{\frac {4(a+b)b}{(a+2b)^{2}}}p^{2}}$ 

o^[8]​

${\displaystyle p^{2}=A(r^{2}-a^{2})}$ 

con

${\displaystyle A={\frac {(a+2b)^{2}}{4(a+b)b}}.}$ 

Los casos especiales que se obtienen al establecer b = ^a⁄_n para valores específicos de n incluyen:

n	Curva	Ecuación podal
1, −^1⁄2	Cardioide	${\displaystyle p^{2}={\frac {9}{8}}(r^{2}-a^{2})}$
2, −^2⁄3	Nefroide	${\displaystyle p^{2}={\frac {4}{3}}(r^{2}-a^{2})}$
−3, −^3⁄2	Deltoide	${\displaystyle p^{2}=-{\frac {1}{8}}(r^{2}-a^{2})}$
−4, −^4⁄3	Astroide	${\displaystyle p^{2}=-{\frac {1}{3}}(r^{2}-a^{2})}$

Otras curvas

Otras ecuaciones podales son:^[9]​

Curva	Ecuación	Punto podal	Ecuación podal
Recta	${\displaystyle ax+by+c=0}$	Origen	${\displaystyle p={\frac {|c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$
Punto	${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$	Origen	${\displaystyle r={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$
Circunferencia	${\displaystyle |x-a|=R}$	Origen	${\displaystyle 2pR=r^{2}+R^{2}-|a|^{2}}$
Involuta de una circunferencia	${\displaystyle r={\frac {a}{\cos \alpha }},\ \theta =\tan \alpha -\alpha }$	Origen	${\displaystyle p_{c}=|a|}$
Elipse	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	Centro	${\displaystyle {\frac {a^{2}b^{2}}{p^{2}}}+r^{2}=a^{2}+b^{2}}$
Hipérbola	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	Centro	${\displaystyle -{\frac {a^{2}b^{2}}{p^{2}}}+r^{2}=a^{2}-b^{2}}$
Elipse	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	Foco	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{p^{2}}}={\frac {2a}{r}}-1}$
Hipérbola	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	Foco	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{p^{2}}}={\frac {2a}{r}}+1}$
Espiral logarítmica	${\displaystyle r=ae^{\theta \cot \alpha }}$	Polo	${\displaystyle p=r\sin \alpha }$
Óvalo cartesiano	${\displaystyle |x|+\alpha |x-a|=C,}$	Foco	${\displaystyle {\frac {(b-(1-\alpha ^{2})r^{2})^{2}}{4p^{2}}}={\frac {Cb}{r}}+(1-\alpha ^{2})Cr-((1-\alpha ^{2})C^{2}+b),\ b:=C^{2}-\alpha ^{2}|a|^{2}}$
Óvalo de Cassini	${\displaystyle |x||x-a|=C,}$	Foco	${\displaystyle {\frac {(3C^{2}+r^{4}-|a|^{2}r^{2})^{2}}{p^{2}}}=4C^{2}\left({\frac {2C^{2}}{r^{2}}}+2r^{2}-|a|^{2}\right).}$
Óvalo de Cassini	${\displaystyle |x-a||x+a|=C,}$	Centro	${\displaystyle 2Rpr=r^{4}+R^{2}-|a|^{2}.}$

Véase también

• Podaria

Referencias

1. Yates §1
2. Edwards p. 161
3. Yates p. 166, Edwards p. 162
4. Blaschke Proposition 1
5. Blaschke Theorem 2
6. Yates p. 168, Edwards p. 162
7. Edwards p. 163
8. Yates p. 163
9. Yates p. 169, Edwards p. 163, Blaschke sec. 2.1

Bibliografía

• R.C. Yates (1952). «Pedal Equations». A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. pp. 166 ff. 
• J. Edwards (1892). Differential Calculus. London: MacMillan and Co. pp. 161 ff. 
• P. Blaschke (2017). «Pedal coordinates, dark Kepler and other force problems». Journal of Mathematical Physics. 58/6. doi:10.1063/1.4984905. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Pedal coordinates». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q7158977