Ecuación del calor

La ecuación del calor es una importante ecuación diferencial en derivadas parciales del tipo parabólica que describe la distribución del calor (o variaciones de la temperatura) en una región a lo largo del transcurso del tiempo.

Definición

Para el caso de una función de tres variables ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$  y de la variable temporal ${\displaystyle t}$ , el enunciado clásico es^[1]​ para el caso en que no existe una fuente de energía

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}-\alpha \left({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial z^{2}}}\right)=0}$ 

donde ${\displaystyle \alpha }$  es la difusividad térmica, que es una propiedad del material.

En forma general, para utilizar en cualquier sistema de coordenadas, la ecuación es:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha \nabla ^{2}u=0}$

donde ${\displaystyle \alpha }$  es una constante positiva, y ${\displaystyle \nabla ^{2}}$  es el operador de Laplace. En el problema físico de variación de temperatura, ${\displaystyle u(x,y,z,t)}$  es la temperatura y ${\displaystyle \alpha }$  es la difusividad térmica. En tratados matemáticos es común considerar el caso en que ${\displaystyle \alpha =1}$ .

Considerando la ecuación de estado, de la primera ley de la termodinámica (es decir, la conservación de la energía), se escribe de la siguiente forma (asumiendo que no hay transferencia de masa, o fuentes de radiación, pero si una fuente de energía ${\displaystyle Q}$ ). Esta forma es más general y particularmente útil para analizar cómo las diversas propiedades (${\displaystyle c_{p}}$  o ${\displaystyle \rho }$ ) influyen sobre cada término.

${\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}-\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)=Q}$ 

La ecuación del calor es de una importancia fundamental en numerosos y diversos campos de la ciencia. En el ámbito de las matemáticas, son las ecuaciones parabólicas en derivadas parciales por antonomasia. En el campo de la estadística, la ecuación del calor está vinculada con el estudio del movimiento browniano a través de la ecuación de Fokker–Planck. La ecuación de difusión, es una versión más general de la ecuación del calor, y se relaciona principalmente con el estudio de procesos de difusión química.

El problema físico y la ecuación

Caso unidimensional

La ecuación de calor se obtiene a partir de la ley de Fourier y del principio de conservación de la energía.^[2]​ Según la ley de Fourier, la razón de cambio del flujo de energía calórica por unidad de área a través de una superficie es proporcional al gradiente de temperatura negativo en la superficie,

${\displaystyle \mathbf {q} =-k\,\nabla u\ }$ 

donde ${\displaystyle k}$  es la conductividad térmica y ${\displaystyle u}$  es la temperatura. En una dimensión, el gradiente es una derivada espacial ordinaria, y así la ley de Fourier es,

${\displaystyle q=-k{\frac {\partial u}{\partial x}}\,}$ 

En ausencia de trabajo realizado, un cambio en la energía interna por unidad de volumen en el material, ${\displaystyle \Delta Q}$ , es proporcional al cambio de la temperatura, ${\displaystyle \Delta u}$  (en esta sección, ${\displaystyle \Delta }$  es el operador de diferencia ordinario, no el Laplaciano). Entonces,

${\displaystyle \Delta Q=c_{p}\rho \,\Delta u\,}$ 

donde ${\displaystyle c_{p}}$  es la capacidad calórica específica y ${\displaystyle \rho }$  es la densidad de masa del material. Definiendo que la energía es nula cuando la temperatura es el cero absoluto, se puede reescribir como:

${\displaystyle Q=c_{p}\rho u.\,}$ 

El incremento en energía interna en una pequeña región espacial del material

${\displaystyle x-\Delta x\leq \xi \leq x+\Delta x}$ 

sobre un lapso de tiempo

${\displaystyle t-\Delta t\leq \tau \leq t+\Delta t}$ 

está dado por^{[n. 1]}​

${\displaystyle c_{p}\rho \int _{x-\Delta x}^{x+\Delta x}[u(\xi ,t+\Delta t)-u(\xi ,t-\Delta t)]\,d\xi =c_{p}\rho \int _{t-\Delta t}^{t+\Delta t}\int _{x-\Delta x}^{x+\Delta x}{\frac {\partial u}{\partial \tau }}\,d\xi \,d\tau }$ 

donde se utilizó el teorema fundamental del cálculo. Si no hay trabajo realizado, y no hay fuentes de calor, el cambio en la energía interna en el intervalo ${\displaystyle [x-\Delta x,x+\Delta x]}$  queda completamente definido por el flujo de calor que atraviesa los contornos. Según la ley de Fourier, esto es

${\displaystyle k\int _{t-\Delta t}^{t+\Delta t}\left[{\frac {\partial u}{\partial x}}(x+\Delta x,\tau )-{\frac {\partial u}{\partial x}}(x-\Delta x,\tau )\right]\,d\tau =k\int _{t-\Delta t}^{t+\Delta t}\int _{x-\Delta x}^{x+\Delta x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi ^{2}}}\,d\xi \,d\tau }$ 

otra vez por el teorema fundamental del cálculo.^{[n. 2]}​ Aplicando conservación de la energía,

${\displaystyle \int _{t-\Delta t}^{t+\Delta t}\int _{x-\Delta x}^{x+\Delta x}[c_{p}\rho u_{\tau }-ku_{\xi \xi }]\,d\xi \,d\tau =0.}$ 

Esto es verdadero para cualquier región rectangular ${\displaystyle [t-\Delta t,t+\Delta t]\times [x-\Delta x,x+\Delta x]}$ . Por el lema fundamental del cálculo variacional, el integrando debe desvanecer a:

${\displaystyle c_{p}\rho u_{t}-ku_{xx}=0.\,\!}$ 

El cual puede reescribirse como:

${\displaystyle u_{t}={\frac {k}{c_{p}\rho }}u_{xx},}$ 

o:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {k}{c_{p}\rho }}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$ 

el cual es la ecuación del calor, donde el coeficiente (comúnmente denominado α)

${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{c_{p}\rho }}\,\!}$ 

se conoce como la difusividad térmica.

Se puede agregar un término más a la ecuación para tener en cuenta las pérdidas de calor por radiación, fenómeno que depende del exceso de temperatura ${\displaystyle u=T-T_{s}}$  en algún punto dado comparado con el entorno. Cuando el exceso de temperatura es relativamente pequeño, la pérdida por radiación es aproximadamente μu, donde resulta la ecuación de transferencia de calor unidimensional de la forma

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {k}{c_{p}\rho }}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)-\mu u.}$ 

Sin embargo, cuando hay exceso de temperatura significativo, según la ley de Stefan-Boltzmann la pérdida neta de calor radiado es proporcional a ${\displaystyle T^{4}-T_{s}^{4}}$ , y la ecuación anterior es errónea. Para grandes excesos de temperatura, ${\displaystyle T^{4}-T_{s}^{4}\approx u^{4}}$ , queda la ecuación de transferencia de calor para altas temperaturas de la forma:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)-\ mu^{4}}$ 

donde ${\displaystyle \ m=\epsilon \sigma p/\rho Ac_{p}}$ . Aquí, ${\displaystyle \sigma }$  es la constante de Stefan-Boltzmann, ${\displaystyle \epsilon }$  es la constante característica del material, ${\displaystyle p}$  es el perímetro de la sección de la barra y ${\displaystyle A}$  es su área de sección. Sin embargo, usando ${\displaystyle T}$  en vez de ${\displaystyle u}$  tenemos una mejor aproximación en este caso.

Caso tridimensional

En el caso especial de la difusión de calor en un medio isotrópico y homogéneo en un espacio de tres dimensiones, la ecuación es

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}=\alpha \left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)}$  ${\displaystyle =\alpha (u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})\quad }$ 

donde:

• ${\displaystyle u=u\left(x,y,z,t\right)}$  es la temperatura como una función del espacio y del tiempo;
• ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}}$  es la razón de cambio de temperatura en un punto respecto del tiempo;
• ${\displaystyle u_{xx},u_{yy},u_{zz}}$  son derivadas segundas parciales (conducciones térmica) de la temperatura respecto de ${\displaystyle x,y,z}$ , respectivamente;
• ${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{c_{p}\rho }}}$  es la difusividad térmica, una cantidad específica del material que depende de la conductividad térmica ${\displaystyle k}$ , la densidad de masa ${\displaystyle \rho }$ , y la capacidad de calor específica ${\displaystyle c_{p}}$ .

La ecuación del calor es una consecuencia de la ley de Fourier de conducción (ver conducción del calor).

Si el medio no es todo el espacio, entonces para resolver la ecuación de calor se necesita solo que se especifiquen las condiciones de contorno para u. Para determinar la unicidad de las soluciones en todo el espacio se necesita suponer una cota exponencial sobre el crecimiento de las soluciones.^[3]​

Las soluciones de la ecuación del calor se caracterizan por una suavidad gradual de la distribución de temperatura inicial por el flujo de calor desde las áreas más cálidas hacia las más frías de un objeto. Generalmente, muchos estados diferentes y condiciones iniciales tienden al mismo equilibrio estable.

La ecuación del calor es un ejemplo prototipo de una ecuación diferencial en derivadas parciales del tipo parabólico

Usando el operador de Laplace, la ecuación se puede simplificar, y generalizar a ecuaciones similares en el espacio de un número arbitrario de dimensiones:

${\displaystyle u_{t}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \Delta u,\quad \,\!}$ 

donde el operador de Laplace puede ser Δ o ∇², la divergencia del gradiente, se toma en las variables espaciales.

La ecuación del calor gobierna la difusión de calor, es decir, es otro proceso de difusión, tal como la difusión de partículas o la propagación del potencial de acción en células neuronales. Sin embargo no son de naturaleza difusiva, algunos problemas de mecánica cuántica también están gobernadas por una ecuación análoga a la ecuación del calor (ver más adelante). También puede utilizarse para modelar algunos problemas en finanzas, como por ejemplo en los procesos de Black-Scholes o Ornstein-Uhlenbeck.

Notas

1. Se asume que el material tiene una densidad de masa y capacidad calórica constante, tanto en el espacio como en el tiempo, aunque las generalizaciones se dan después.
2. En dimensiones mayores, se utiliza en su lugar el teorema de la divergencia.

Referencias

1. Ibarra, 2012, p. 3
2. Cannon, 1984
3. Stojanovic, 2003, pp. 112–114

Bibliografía

• Ibarra, María del Carmen (2012). La ecuación de calor de Fourier: resolución mediante métodos de análisis en variable real y en variable compleja. UTN Facultad Regional Resistencia: II Jornadas de Investigación en Ingeniería del NEA y Países Limítrofes. Consultado el 20 de febrero de 2016. 
• Cannon, John (1984), The One-Dimensional Heat Equation, Encyclopedia of mathematics and its applications (en inglés), Addison-Wesley, ISBN 0-521-30243-9 .
• Stojanovic, Srdjan (2003), «3.3.1.3 Uniqueness for heat PDE with exponential growth at infinity», Computational Financial Mathematics using MATHEMATICA®: Optimal Trading in Stocks and Options (en inglés), Springer, ISBN 9780817641979 .
• Crank, J.; Nicolson, P. (1947), «A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of the Heat-Conduction Type», Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (en inglés) 43: 50-67 .
• Einstein, Albert (1905), «Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen», Ann. Phys. Leipzig 17 (en alemán): 549-560 .
• Evans, L.C. (1998), Partial Differential Equations (en inglés), Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .
• John, Fritz (1991), Partial Differential Equations (en inglés) (4th ed. edición), Springer, ISBN 978-0387906096 .
• Wilmott, P.; Howison, S.; Dewynne, J. (1995), The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction (en inglés), Cambridge University Press .

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Ecuación del calor.
• Deducción de la ecuación del calor
• Ecuaciones del calor lineales: Soluciones particulares y problemas de condición de borde - de EqWorld
• Neher-McGrath heat equations: What you need to know about your undergound electrical installation.

•   Datos: Q6510488
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