Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:
Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:
Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:
Y se resuelve ahora la ecuación:
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :
ecuación, diferencial, bernoulli, ecuación, diferencial, bernoulli, ecuación, diferencial, ordinaria, primer, orden, formulada, jacob, bernoulli, esta, ecuación, transformada, gottfried, leibniz, 1693, johann, bernoulli, 1697, ecuación, diferencial, lineal, pr. La ecuacion diferencial de Bernoulli es una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden formulada por Jacob Bernoulli Esta ecuacion fue transformada por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697 en una ecuacion diferencial lineal de primer orden mediante el cambio de variable y 1 a v displaystyle y 1 alpha v esta ecuacion es de la formad y d x P x y Q x y a displaystyle frac dy dx P x y Q x y alpha donde P x displaystyle P x y Q x displaystyle Q x son funciones continuas en un intervalo abierto a b R displaystyle a b subseteq mathbb R con a R displaystyle alpha in mathbb R Indice 1 Solucion 1 1 Caso general UNIQ postMath 00000007 QINU 1 2 Casos particulares 2 Ejemplo 3 Vease tambien 4 Bibliografia 5 Enlaces externosSolucion EditarCaso general a 0 1 displaystyle alpha neq 0 1 Editar Dividimos la ecuacion diferencial entre y a displaystyle y alpha y obtenemos 1 y a d y d x P x y y a Q x displaystyle frac 1 y alpha frac dy dx P x frac y y alpha Q x o equivalentemente 1 y a d y d x P x y 1 a Q x displaystyle frac 1 y alpha frac dy dx P x y 1 alpha Q x Definiendo z y 1 a displaystyle z y 1 alpha obtenemos las igualdades d z d x 1 a y a d y d x 1 a y a d y d x displaystyle begin aligned frac dz dx amp 1 alpha y alpha frac dy dx frac 1 alpha y alpha frac dy dx end aligned o 1 1 a d z d x 1 y a d y d x displaystyle frac 1 1 alpha frac dz dx frac 1 y alpha frac dy dx Reemplazando en la ecuacion diferencial 1 1 a d z d x P x z Q x displaystyle frac 1 1 alpha frac dz dx P x z Q x d z d x 1 a P x z 1 a Q x displaystyle frac dz dx 1 alpha P x z 1 alpha Q x Ecuacion que resulta ser una ecuacion diferencial lineal cuya solucion esta dada por z e 1 a P x d x e 1 a P x d x 1 a Q x d x C displaystyle z e 1 alpha int P x dx left int e 1 alpha int P x dx 1 alpha Q x dx C right donde C R displaystyle C in mathbb R es una constante arbitraria como z y 1 a displaystyle z y 1 alpha entonces y 1 a e 1 a P x d x 1 a e 1 a P x d x Q x d x C displaystyle y 1 alpha e 1 alpha int P x dx left 1 alpha int e 1 alpha int P x dx Q x dx C right Finalmente y e 1 a P x d x 1 a e 1 a P x d x Q x d x C 1 a displaystyle y sqrt 1 alpha e 1 alpha int P x dx left 1 alpha int e 1 alpha int P x dx Q x dx C right y e P x d x 1 a e 1 a P x d x Q x d x C 1 a displaystyle y e int P x dx left sqrt 1 alpha 1 alpha int e 1 alpha int P x dx Q x dx C right Casos particulares Editar Cuando a 0 displaystyle alpha 0 entonces la ecuacion d y d x P x y Q x y a displaystyle frac dy dx P x y Q x y alpha se reduce a la ecuacion lineal d y d x P x y Q x displaystyle frac dy dx P x y Q x cuya solucion esta dada por y e P x d x Q x e P x d x d x C displaystyle y e int P x dx left int Q x e int P x dx dx C right Cuando a 1 displaystyle alpha 1 entonces la ecuacion d y d x P x y Q x y a displaystyle frac dy dx P x y Q x y alpha se reduce a d y d x P x y Q x y displaystyle frac dy dx P x y Q x y que puede resolverse mediante variables separables dicha solucion esta dada por ln y Q x P x d x C displaystyle ln y int Q x P x dx C Ejemplo EditarPara resolver la ecuacion x y y x 4 y 3 displaystyle qquad xy y x 4 y 3 Se hace el cambio de variable z y 2 displaystyle z y 2 que introducido en da simplemente y 2 1 z 2 y y 1 z 2 z displaystyle y 2 frac 1 z Rightarrow 2yy frac 1 z 2 z Multiplicando la ecuacion anterior por el factor 2 y x displaystyle frac 2y x se llega a 2 y y 2 x y 2 2 x 3 y 4 displaystyle qquad 2yy frac 2 x y 2 2x 3 y 4 Si se sustituye en la ultima expresion y operando z z 2 2 x 1 z 2 x 3 z 2 z 2 z x 2 x 3 displaystyle frac z z 2 frac 2 x frac 1 z frac 2x 3 z 2 quad Rightarrow quad z frac 2z x 2x 3 Que es una ecuacion diferencial lineal que puede resolverse facilmente Primeramente se calcula el factor integrante tipico de la ecuacion de Bernouilli e P x d x e 2 x d x e 2 ln x 1 x 2 displaystyle e int P x dx e int frac 2 x dx e 2 ln x frac 1 x 2 Y se resuelve ahora la ecuacion z x 2 2 x 3 1 x 2 2 x z x 2 2 x d x 2 x d x 2 x 2 2 C 1 x 2 C 1 displaystyle left frac z x 2 right 2x 3 frac 1 x 2 2x qquad frac z x 2 int 2xdx 2 int xdx 2 frac x 2 2 C 1 x 2 C 1 Deshaciendo ahora el cambio de variable z x 2 x 2 C 1 z C 1 x 2 x 4 displaystyle frac z x 2 x 2 C 1 quad Rightarrow quad z C 1 x 2 x 4 Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue z y 2 displaystyle z y 2 1 y x 2 C 1 x 2 x 4 y x 1 C 1 x 2 x 4 displaystyle frac 1 y x 2 C 1 x 2 x 4 quad Rightarrow quad y x frac pm 1 sqrt C 1 x 2 x 4 Vease tambien EditarEcuacion Diferencial de Primer Orden Ecuacion Diferencial Ordinaria Ecuacion Diferencial Ecuacion Diferencial Lineal BernoulliBibliografia EditarSpiegel Murray R Abellanas Lorenzo 1992 McGraw Hill ed Formulas y tablas de matematica aplicada Aravaca Madrid ISBN 84 7615 197 7 Enlaces externos EditarBernoulli equation en PlanetMath Datos Q793674 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Ecuacion diferencial de Bernoulli amp oldid 132514978, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,