Ecuación diferencial ordinaria de primer orden

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Es una relación en la que intervienen la variable dependiente, la función incógnita y su derivada de primer orden.^[1]​

Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita, llamada también "ecuación resuelta respecto a su primera derivada" ^[2]​ en esta forma:

(1a)${\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac {dy}{dx}}=f(x,y)\\y(x_{0})=y_{0}\end{cases}}}$

O en su forma implícita:

(1b)${\displaystyle f\left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right)=0\ {\mbox{con}}\ y(x_{0})=y_{0}}$

Ejemplos de ecuaciones diferenciales

Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma:

(2a)${\displaystyle M(x)dx=N(y)dy\;}$ 

Se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables. De este modo, en cada miembro de la ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro:

(2b)${\displaystyle {\int _{x_{0}}^{x}M(t)dt}={\int _{y_{0}}^{y}N(t)dt}}$ 

Ecuaciones homogéneas

Una ecuación de la forma:

(left)${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f\left({x,y}\right)}$ 

Es homogénea siempre que la función f no dependa de x e y aisladamente, sino únicamente de sus razones y/x o bien x/y. Así pues las ecuaciones homogéneas adoptan la forma:^[3]​

(3a)${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)}$ 

Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x^{2}y+y^{3}-xy^{2}}{x^{3}-7xy^{2}}}}$ 

sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por ${\displaystyle x^{3}}$  o ${\displaystyle y^{3}}$  en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son:

${\displaystyle u(x,y)={\frac {x}{y}}}$  o bien ${\displaystyle u(y,x)={\frac {y}{x}}}$ 

Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor como función que se ha establecido.

El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

(3a)${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=F\left({\frac {y}{x}}\right)}$ 

introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por:

(3b)${\displaystyle \ln x=\int {\frac {du}{F(u)-u}}+C}$ 

Ecuaciones lineales de primer orden

La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

(4a)${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+\alpha y(x)=f(x)}$ 

Y la solución de la misma viene dada por:

(4b)${\displaystyle y(x)=e^{-\alpha (x-x_{0})}\left(y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(\xi )e^{\alpha (\xi -x_{0})}d\xi \right)}$ 

En el caso particular ${\displaystyle \scriptstyle f(x)=b={\text{cte.}}}$  y ${\displaystyle \scriptstyle x_{0}=0}$ , la solución es:

(4c)${\displaystyle y(x)=y_{0}e^{-\alpha x}+{\frac {b}{\alpha }}(1-e^{-\alpha x})}$ 

Ecuación diferencial de Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli es aquella que tiene la forma:

(5a)${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha },\quad \alpha \neq 1}$ 

Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas cualesquiera. Su solución para α > 1 viene dada por:

(5b)${\displaystyle y(x)={\frac {e^{-\int \!P\left(x\right){dx}}}{\sqrt[{\alpha -1}]{\left(1-\alpha \right)\int \!Q\left(x\right){e^{\left(1-\alpha \right)\int \!P\left(x\right){dx}}}{dx}+C}}}}$ 

Dicha solución directa puede obtenerse aplicando paso a paso el siguiente método:

1) Cambiar la variable dependiente y por una nueva variable v de la siguiente manera:

${\displaystyle v(x)=[y(x)]^{(1-\alpha )}}$ 

2) Se diferencia v en función de x.

3) Se despeja el diferencial dy del paso anterior y se substituye en la ecuación diferencial original (resultando una ecuación lineal).

4) Se encuentra por integración directa la función v en la ecuación:

${\displaystyle v(x)=e^{-h(x)}{\int e^{h(x)}r(x){dx}+c}}$ 

donde nuestra hachecita es: ${\displaystyle h(x)=\int f(x){dx}}$ 

5) Se revierte el cambio de variable desde v a y y se encuentra la solución general, en función de su variable original x.

Notas y referencias

1. S. L. Pontriaguin Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones Editorial URSS Moscú (2011)
2. Pontriaguin Op. cit.
3. "Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera" (1991) Boy and Di Prima, ISBN 968-18-0107-5; pp. 69 y 70

Véase también

• Sistema de ecuaciones diferenciales
• Método de aproximaciones sucesivas de Picard

•   Datos: Q5817450