Toda matriz cuadrada tiene una descomposición de Schur, y por lo tanto, toda matriz cuadrada es unitariamente equivalente a una matriz triangular (de hecho, Q*AQ = U). Sin embargo, esta descomposición no es única.
Escríbase a la matriz triangular U como U = D + N, donde D es diagonal y N es estrictamente triangular superior (y por lo tanto nilpotente). La matriz diagonal D contiene los autovalores de A en orden arbitrario. Más aún, la parte nilpotente N en general tampoco es única, pero su norma de Frobenius queda determinada unívocamente por A.
Una familia conmutativa de matrices puede triangularizarse simultáneamente. Esto significa que, dadas varias matrices conmutativas A1, …, An, existe una matriz unitariaQ tal que las matrices Q*A1Q, …, Q*AnQ son todas triangular superiores.
Construcción de la descomposición de Schur
Algunos algoritmos enálgebra lineal numérica requieren un método para calcular una descomposición de Schur de una matriz. Esto puede hacerse siguiendo el siguiente procedimiento, que además demuestra que una descomposición de Schur es posible.
Dada la matriz A de orden n por n, encuentra un autovalor λ1 de A con el correspondiente autovector v1 de norma 1. Elige n-1 vectores w2, …, wn, tales que el conjunto
sea una base ortonormal para Cn. Si V1 denota la matriz con estos vectores como columnas, entonces
donde es una matriz (n-1) por (n-1).
Ahora repetimos este proceso con A1: esto da una matriz unitaria V2 tal que
donde es una matriz (n- 2) por (n- 2). Por tanto,
Continuando este proceso, uno encuentra las matrices V3, …, Vn. Finalmente, la matriz U = Q*AQ con
es triangular superior, así A = QUQ* es una descomposición de A.
Datos:Q1064218
Agosto 04, 2021
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