La derivada covariantegauge es una generalización de la derivada covariante utilizada en relatividad general. Si una teoría tiene simetrías gauge, significa que algunas de las propiedades físicas de ciertas ecuaciones no se modifican bajo aquellas transformaciones. Así mismo, la derivada covariante gauge es la derivada normal modificada de tal manera que se comporte como un verdadero operador vectorial, de modo que las ecuaciones escritas utilizando la derivada covariante preservan sus propiedades físicas bajo transformaciones gauge.
Dinámica de fluidos
En dinámica de fluidos, la derivada covariante gauge de un fluido se define como
En teoría gauge, que estudia una clase particular de campos que tienen de importancia en la teoría de campos cuánticos, la derivada covariante en acoplamiento mínimo se define como
(Nota que esto es válido para una signatura en la métrica de Minkowski, la que se emplea en este artículo. Para el menos pasa a ser un más.)
Construcción de la derivada covariante a través del requisito de covarianza gauge
Considerar una transformación gauge genérica (posiblemente no-abeliana) dada por
donde es un elemento del álgebra de Lie asociada con el grupo de Lie de transformaciones, y se puede expresar en términos de los generadores como .
La derivada parcial transforma consiguientemente como
y por tanto un término cinético de la forma no es invariante bajo esta transformación.
Podemos introducir la derivada covariante en este contexto como generalización de la derivada parcial que transforma covariantemente bajo la transformación gauge, esto es, un objeto que satisface
que en términos de operadores toma la forma
Así pues calculamos (omitiendo las dependencias explícitas en por brevedad)
,
donde
El requisito para que transforme covariantemente se traduce ahora en la condición
Para obtener una expresión explícita hacemos el Ansatz
See e.g. eq. 3.116 in C. Tully, Elementary Particle Physics in a Nutshell, 2011, Princeton University Press.
Datos:Q5527631
Enero 13, 2022
derivada, covariante, gauge, derivada, covariante, gauge, generalización, derivada, covariante, utilizada, relatividad, general, teoría, tiene, simetrías, gauge, significa, algunas, propiedades, físicas, ciertas, ecuaciones, modifican, bajo, aquellas, transfor. La derivada covariante gauge es una generalizacion de la derivada covariante utilizada en relatividad general Si una teoria tiene simetrias gauge significa que algunas de las propiedades fisicas de ciertas ecuaciones no se modifican bajo aquellas transformaciones Asi mismo la derivada covariante gauge es la derivada normal modificada de tal manera que se comporte como un verdadero operador vectorial de modo que las ecuaciones escritas utilizando la derivada covariante preservan sus propiedades fisicas bajo transformaciones gauge Indice 1 Dinamica de fluidos 2 Teoria gauge 2 1 Construccion de la derivada covariante a traves del requisito de covarianza gauge 2 2 Electrodinamica cuantica 2 3 Cromodinamica cuantica 2 4 Modelo estandar 3 Vease tambien 4 ReferenciasDinamica de fluidos EditarEn dinamica de fluidos la derivada covariante gauge de un fluido se define como t v t v v v displaystyle nabla t mathbf v partial t mathbf v mathbf v cdot nabla mathbf v donde v displaystyle mathbf v es el campo vectorial de la velocidad de un fluido Teoria gauge EditarEn teoria gauge que estudia una clase particular de campos que tienen de importancia en la teoria de campos cuanticos la derivada covariante en acoplamiento minimo se define como D m m i e A m displaystyle D mu partial mu ieA mu donde A m displaystyle A mu es el cuadrivector de potencial electromagnetico Nota que esto es valido para una signatura displaystyle en la metrica de Minkowski la que se emplea en este articulo Para displaystyle el menos pasa a ser un mas Construccion de la derivada covariante a traves del requisito de covarianza gauge Editar Considerar una transformacion gauge generica posiblemente no abeliana dada por ϕ x U x ϕ x e i a x ϕ x displaystyle phi x rightarrow U x phi x equiv e i alpha x phi x ϕ x ϕ x U x ϕ x e i a x U U 1 displaystyle phi dagger x rightarrow phi dagger x U dagger x equiv phi dagger x e i alpha x qquad U dagger U 1 donde a x displaystyle alpha x es un elemento del algebra de Lie asociada con el grupo de Lie de transformaciones y se puede expresar en terminos de los generadores como a x a a x t a displaystyle alpha x alpha a x t a La derivada parcial m displaystyle partial mu transforma consiguientemente como m ϕ x U x m ϕ x m U ϕ x e i a x m ϕ x i m a e i a x ϕ x displaystyle partial mu phi x rightarrow U x partial mu phi x partial mu U phi x equiv e i alpha x partial mu phi x i partial mu alpha e i alpha x phi x y por tanto un termino cinetico de la forma ϕ m ϕ displaystyle phi dagger partial mu phi no es invariante bajo esta transformacion Podemos introducir la derivada covariante D m displaystyle D mu en este contexto como generalizacion de la derivada parcial m displaystyle partial mu que transforma covariantemente bajo la transformacion gauge esto es un objeto que satisface D m ϕ x D m ϕ x U x D m ϕ x displaystyle D mu phi x rightarrow D mu phi x U x D mu phi x que en terminos de operadores toma la forma D m U x D m U x displaystyle D mu U x D mu U dagger x Asi pues calculamos omitiendo las dependencias explicitas en x displaystyle x por brevedad D m ϕ D m U ϕ U D m ϕ d D m U D m U ϕ displaystyle D mu phi rightarrow D mu U phi UD mu phi delta D mu U D mu U phi donde D m D m D m d D m displaystyle D mu rightarrow D mu equiv D mu delta D mu A m A m A m d A m displaystyle A mu rightarrow A mu A mu delta A mu El requisito para que D m displaystyle D mu transforme covariantemente se traduce ahora en la condicion d D m U D m U ϕ 0 displaystyle delta D mu U D mu U phi 0 Para obtener una expresion explicita hacemos el Ansatz D m m i g A m displaystyle D mu partial mu igA mu de donde se sigue que d D m i g d A m displaystyle delta D mu equiv ig delta A mu y d A m U A m U i g m U U displaystyle delta A mu U A mu U dagger frac i g partial mu U U dagger que U x 1 i a x O a 2 displaystyle U x 1 i alpha x mathcal O alpha 2 es de la forma d A m 1 g m a i g A m a O a 2 1 g D m a O a 2 displaystyle delta A mu frac 1 g partial mu alpha ig A mu alpha mathcal O alpha 2 frac 1 g D mu alpha mathcal O alpha 2 Asi que hemos encontrado un objeto D m displaystyle D mu tal que ϕ x D m ϕ x ϕ x D m ϕ x ϕ x D m ϕ x displaystyle phi dagger x D mu phi x rightarrow phi dagger x D mu phi x phi dagger x D mu phi x Electrodinamica cuantica Editar Si una transformacion gauge esta dada por ps e i L ps displaystyle psi mapsto e i Lambda psi y para el potencial gauge A m A m 1 e m L displaystyle A mu mapsto A mu 1 over e partial mu Lambda entonces D m displaystyle D mu transforma como D m m i e A m i m L displaystyle D mu mapsto partial mu ieA mu i partial mu Lambda y D m ps displaystyle D mu psi transforma como D m ps e i L D m ps displaystyle D mu psi mapsto e i Lambda D mu psi y ps ps g 0 displaystyle bar psi psi dagger gamma 0 como ps ps e i L displaystyle bar psi mapsto bar psi e i Lambda de modo que ps D m ps ps D m ps displaystyle bar psi D mu psi mapsto bar psi D mu psi y ps D m ps displaystyle bar psi D mu psi en el lagrangiano de la electrodinamica cuantica es por tanto invariante gauge Por otro lado la derivada no covariante m displaystyle partial mu no preservaria la simetria gauge del lagrangiano ya que ps m ps ps m ps i ps m L ps displaystyle bar psi partial mu psi mapsto bar psi partial mu psi i bar psi partial mu Lambda psi Cromodinamica cuantica Editar En cromodinamica cuantica la derivada covariante gauge es 1 D m m i g A m a l a displaystyle D mu partial mu ig A mu alpha lambda alpha donde g displaystyle g es la constante de acoplamiento A displaystyle A es el campo gauge gluonico para los ocho gluones diferentes a 1 8 displaystyle alpha 1 dots 8 ps displaystyle psi es un espinor de Dirac de cuatro componentes y l a displaystyle lambda alpha es una de las ocho matrices de Gell Mann Modelo estandar Editar La derivada covariante en el Modelo Estandar puede ser expresada en la forma siguiente 2 D m m i g 1 2 Y B m i g 2 2 s j W m j i g 3 2 l a G m a displaystyle D mu partial mu i frac g 1 2 Y B mu i frac g 2 2 sigma j W mu j i frac g 3 2 lambda alpha G mu alpha donde Y displaystyle Y es la hipercarga B m displaystyle B mu el boson gauge del grupo U 1 Y displaystyle U 1 Y s j displaystyle sigma j las matrices de Pauli W m j displaystyle W mu j los bosones gauge del grupo quiral S U 2 L displaystyle SU 2 L vease modelo electrodebil l a displaystyle lambda alpha las matrices de Gell Mann G m a displaystyle G mu alpha los gluones y g 1 displaystyle g 1 g 2 displaystyle g 2 y g 3 displaystyle g 3 las correspondientes constantes de acoplamiento Vease tambien EditarMomento Cinetico Conexion matematica Derivada covarianteReferencias Editar http www fuw edu pl dobaczew maub 42w node9 html See e g eq 3 116 in C Tully Elementary Particle Physics in a Nutshell 2011 Princeton University Press Datos Q5527631 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Derivada covariante gauge amp oldid 120219717, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,