Cuadrado

Para otros usos de este término, véase Cuadrado (desambiguación).

Un cuadrado en geometría es un cuadrilátero regular, es decir, una figura plana de cuatro lados congruentes y paralelos dos a dos, y cuatro ángulos interiores rectos (90°), por lo que también cumple con la definición de rectángulo y paralelogramo^[1]​^[2]​^[3]​^[4]​

Cuadrado
Cuadrilatero, con sus lados paralelos congruentes, y sus cuatro ángulos rectos
Características
Tipo	Cuadrilátero, paralelogramo
Lados	4
Vértices	4
Grupo de simetría	${\displaystyle D_{4}}$
Símbolo de Schläfli	{4/1}
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Polígono dual	Cuadrado
Área	${\displaystyle l*l}$
Ángulo interior	90°
Propiedades
Convexo, isogonal, cíclico
[editar datos en Wikidata]

Un cuadrado y sus ángulos principales

Tablilla de barro Ybc7289 datada el 1800 a. C. donde se muestra un cuadrado y sus diagonales.

Definición

Un cuadrado es una figura geométrica plana que consiste en cuatro puntos unidos por segmentos de igual medida, que encierran una región del plano, formando ángulos rectos.^[5]​

Propiedades

Por ser cuadrilátero, hereda las siguientes propiedades:

• Tiene solo dos diagonales.
• Sus ángulos internos suman 360°.

A partir de la definición euclidiana reducida y aplicando deducción se pueden demostrar las siguientes propiedades del cuadrado:

• Es un paralelogramo.
  • Tiene lados opuestos paralelos.
• Sus diagonales tienen la misma longitud.
  • Sus diagonales se bisecan en el baricentro.
  • Sus diagonales son perpendiculares entre sí.
  • Sus diagonales bisecan los ángulos por los que pasa.
  • Tiene cuatro ejes de simetría que pasan por el baricentro; un par son perpendiculares a los lados y el otro par contiene las diagonales.

 

Formulario

Fórmulas en función del lado ${\displaystyle a}$  del cuadrado:

• Perímetro: ${\displaystyle p=4\cdot a}$ 
• Longitud de cada diagonal: ${\displaystyle d=a\cdot {\sqrt {2}}}$ 
• Área: ${\displaystyle A=a^{2}}$ 

Fórmulas en función de la diagonal ${\displaystyle d}$  del cuadrado:

• Longitud de cada lado: ${\displaystyle a=d\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 
• Perímetro: ${\displaystyle p=d\cdot 2\cdot {\sqrt {2}}}$ 
• Área: ${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}}$ 

Construcciones

Según Símbolo de Schläfli se pueden obtener:

• {4/1} es el cuadrado.
• {4,4} es el teselado del plano.
• {4,3} es el cubo.

 

Propiedades relativas a la circunferencia inscrita o circunscrita.

• El lado de un cuadrado es igual al diámetro de la circunferencia inscrita en este.
• La diagonal de un cuadrado es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a este.

Dual del cuadrado

• Si se inscribe un cuadrilátero en un cuadrado, colocando los vértices en los puntos medios de los lados de este, resulta el dual, que es otro cuadrado cuya área es la mitad de la del cuadrado exterior.

Geometría no euclidiana

En geometría no euclidiana, los cuadrados son más generalmente polígonos con 4 lados iguales y ángulos iguales.

En geometría esférica, un cuadrado es un polígono cuyos bordes son grandes arcos de círculo de igual distancia, que se encuentran en ángulos iguales. A diferencia del cuadrado de la geometría plana, los ángulos de dicho cuadrado son mayores que un ángulo recto. Los cuadrados esféricos más grandes tienen ángulos más grandes.

En geometría hiperbólica no existen cuadrados con ángulos rectos. Más bien, los cuadrados en geometría hiperbólica tienen ángulos menores que los ángulos rectos. Los cuadrados hiperbólicos más grandes tienen ángulos más pequeños.

Ejemplos:

Dos cuadrados pueden embaldosar la esfera en 2 cuadrados alrededor de cada vértice y ángulos internos de 180°. Cada cuadrado cubre una semiesfera por completo y sus vértices se encuentran a lo largo de un gran círculo. Ello es denominado un dihedro cuadrado esférico. El símbolo de Schläfli es {4,2}.

Seis cuadrados pueden tile the sphere with 3 squares around each vertex and 120-degree internal angles. This is called a spherical cube. The Schläfli symbol is {4,3}.

Squares can tile the hyperbolic plane with 5 around each vertex, with each square having 72-degree internal angles. The Schläfli symbol is {4,5}. In fact, for any n ≥ 5 there is a hyperbolic tiling with n squares about each vertex.

Véase también

• Cubo
• Área
• Anexo:Figuras geométricas

Referencias

1. García, Santiago; Horna, Luis de; Serna, José Luis (27 de julio de 2011). Educación Plástica y Visual I - E.S.O. Editex. ISBN 9788497715690. Consultado el 2 de marzo de 2018. 
2. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española. «Cuadrado». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). 
3. Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. «Polígono regular de cuatro lados». 
4. Equipo editorial. Enciclopedia didáctica de matemáticas. OCEANO. ISBN 84-494-0696-X. «Paralelogramo de cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales». 
5. Actualización de la geometría euclidiana utilizado por algunos libros.

Enlaces externos

•   Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre cuadrado.
•   Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Cuadrado.
• Weisstein, Eric W. «Cuadrado». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q164
•   Multimedia: Square (geometry)