Cosenos directores

En cálculo vectorial, los cosenos directores de un vector en el espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ son los valores del coseno de sus ángulos de dirección, es decir, el ángulo entre el vector y los tres vectores de base canónica ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$, ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$ . ^[1]​

vector ${\displaystyle {\vec {v}}}$ con los ángulos de dirección ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$, ${\displaystyle \alpha _{3}}$ .

Propiedades

Para el vector ${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}}$ , los cosenos de dirección son

${\displaystyle \cos \alpha _{1}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{1}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{1}|}}={\frac {v_{1}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{1}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}}$  ,

${\displaystyle \cos \alpha _{2}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{2}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{2}|}}={\frac {v_{2}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{2}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}}$  ,

${\displaystyle \cos \alpha _{3}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{3}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{3}|}}={\frac {v_{3}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{3}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}}$  ,

tal y como se puede ver en los triángulos de colores de la figura adyacente. El vector ${\displaystyle {\vec {v}}}$  puede expresarse por su magnitud y la dirección de los cosenos,

${\displaystyle {\vec {v}}=|{\vec {v}}|{\begin{pmatrix}\cos \alpha _{1}\\\cos \alpha _{2}\\\cos \alpha _{3}\end{pmatrix}}}$  .

Cuando se divide por ${\displaystyle |{\vec {v}}|}$ , se puede ver que los cosenos de dirección son precisamente las componentes del vector unitario ${\displaystyle {\vec {e}}_{v}}$  en la dirección de ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ,

${\displaystyle {\vec {e}}_{v}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha _{1}\\\cos \alpha _{2}\\\cos \alpha _{3}\end{pmatrix}}}$  .

Puesto que ${\displaystyle |{\vec {e}}_{v}|=1}$ , se tiene que

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha _{1}+\cos ^{2}\alpha _{2}+\cos ^{2}\alpha _{3}=1}$  .

Dado que los ángulos de dirección están limitados al rango entre ${\displaystyle 0}$  y ${\displaystyle \pi }$  y el coseno es reversible en este intervalo, los tres ángulos de dirección se dan también con los cosenos de dirección.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. «Cosenos directores». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.